匈牙利算法

转自:二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法

这篇文章讲无权二分图(unweighted bipartite graph)的最大匹配(maximum matching)和完美匹配(perfect matching),以及用于求解匹配的匈牙利算法(Hungarian Algorithm);不讲带权二分图的最佳匹配。

二分图:简单来说,如果图中点可以被分为两组,并且使得所有边都跨越组的边界,则这就是一个二分图。准确地说:把一个图的顶点划分为两个不相交集 U 和 V ,使得每一条边都分别连接U 、 V 中的顶点。如果存在这样的划分,则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是:不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰,我们以后都把它画成图 2 的形式。

匹配:在图论中,一个「匹配」(matching)是一个边的集合,其中任意两条边都没有公共顶点。例如,图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
这里写图片描述

我们定义匹配点、匹配边、未匹配点、非匹配边,它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点,其他顶点为未匹配点;1-5、4-7为匹配边,其他边为非匹配边。

最大匹配:一个图所有匹配中,所含匹配边数最多的匹配,称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配,它包含 4 条匹配边。

完美匹配:如果一个图的某个匹配中,所有的顶点都是匹配点,那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然,完美匹配一定是最大匹配(完美匹配的任何一个点都已经匹配,添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突)。但并非每个图都存在完美匹配。

举例来说:如下图所示,如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边,就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对,使得每对儿都互相喜欢呢?图论中,这就是完美匹配问题。如果换一个说法:最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿?这就是最大匹配问题。
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基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法,下面讲的概念都为这个算法服务。

5交替路:从一个未匹配点出发,依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
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增广路:从一个未匹配点出发,走交替路,如果途径另一个未匹配点(出发的点不算),则这条交替路称为增广路(agumenting path)。例如,图 5 中的一条增广路如图 6 所示(图中的匹配点均用红色标出):
这里写图片描述

增广路有一个重要特点:非匹配边比匹配边多一条。因此,研究增广路的意义是改进匹配。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边,所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后,图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时,达到最大匹配(这是增广路定理)。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前,先讲一下匈牙利树。

匈牙利树一般由 BFS 构造(类似于 BFS 树)。从一个未匹配点出发运行 BFS(唯一的限制是,必须走交替路),直到不能再扩展为止。例如,由图 7,可以得到如图 8 的一棵 BFS 树:

这里写图片描述

这棵树存在一个叶子节点为非匹配点(7 号),但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点,因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点,那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示(顺便说一句,图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路,沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配)。

伪代码:

bool 寻找从k出发的对应项出的可增广路
{    
    while (从邻接表中列举k能关联到顶点j)    
    {        
        if (j不在增广路上)        
        {            
            把j加入增广路;            
            if (j是未盖点 或者 从j的对应项出发有可增广路)            
            {                
                修改j的对应项为k;                
                则从k的对应项出有可增广路,返回true;            
            }        
        }    
    }    
    则从k的对应项出没有可增广路,返回false;
}

void 匈牙利hungary()
{    
    for i->1 to n    
    {        
        if (则从i的对应项出有可增广路)            
        匹配数++;    
    }    
    输出 匹配数;
}
### 扣子智能体平台功能与使用说明 #### 平台概述 扣子Coze)是由字节跳动推出的一款面向终端用户的智能体开发平台[^3]。该平台支持用户通过零代码或低代码方式快速构建基于人工智能大模型的各种智能体应用,并能够将其部署至其他网站或者通过 API 集成到现有的系统中。 #### 快速搭建智能体 无论是具备还是缺乏编程基础的用户,都能够借助扣子平台迅速创建一个 AI 智能体。例如,可以参照一篇教程中的实例来学习如何打造一个解决日常生活问题的小助手[^1]。这不仅降低了技术门槛,还使得更多的人有机会参与到智能化工具的设计过程中去。 #### 插件系统的利用 为了进一步增强所建智能体的能力,在其技能配置环节可加入不同类型的插件。一旦添加成功,则可以在编写提示语句的时候直接调用这些插件,亦或是融入自动化流程里实现更复杂操作逻辑的目的[^2]。这种灵活运用外部资源的方法极大地拓宽了单个智能体所能覆盖的应用场景范围。 ```python # 示例:假设我们有一个简单的 Python 脚本用于模拟调用某个插件功能 def call_plugin(plugin_name, parameters): result = f"Plugin {plugin_name} called with params: {parameters}" return result example_call = call_plugin("weather", {"location": "Beijing"}) print(example_call) ``` 上述代码片段仅作为概念展示之用,实际情况下具体实现会依据官方文档指导完成。 #### 总结 综上所述,扣子智能体平台提供了便捷高效的途径让用户无需深厚编码背景即可打造出满足特定需求的AI解决方案;同时它开放性强允许接入第三方服务从而提升整体性能表现。
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