hdu 2067 dp Catalan数

最新推荐文章于 2020-05-01 23:34:49 发布

原创最新推荐文章于 2020-05-01 23:34:49 发布 · 273 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

动态规划专栏收录该内容

10 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一个有趣的数学问题：从棋盘的起点到终点，不穿越对角线的所有路径数量。通过两种不同的方法——动态规划和卡特兰数列，详细解释了如何计算这一数量，并给出了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem Description
小兔的叔叔从外面旅游回来给她带来了一个礼物，小兔高兴地跑回自己的房间，拆开一看是一个棋盘，小兔有所失望。不过没过几天发现了棋盘的好玩之处。从起点(0，0)走到终点(n,n)的最短路径数是C(2n,n),现在小兔又想如果不穿越对角线(但可接触对角线上的格点)，这样的路径数有多少?小兔想了很长时间都没想出来，现在想请你帮助小兔解决这个问题，对于你来说应该不难吧!

Input
每次输入一个数n(1<=n<=35)，当n等于－1时结束输入。

Output
对于每个输入数据输出路径数，具体格式看Sample。

Sample Input
1
3
12
-1

Sample Output
1 1 2
2 3 10
3 12 416024

DP题解：

参考http://blog.sina.com.cn/s/blog_a16dd6d101014q6x.html
假设是8*8的矩阵
这里写图片描述
箭头方向表示从该格子下一步能去的格子。因为不能穿越对角线，所有对角线上的格子只有进去的箭头，没有出来的箭头。
不难推出状态转移方程
if(i==j)
dp[i][j]=dp[i][j-1]
else
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]
我们只需要求对角线一半的路径数，因为它是关于对角线对称的，不难发现0列0行的路径数是1，注意初始化

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL f[45][45];

int main()
{

    for(int i=0;i<40;i++)
         f[i][0]=1;
    for(int i=0;i<40;i++)
    {
         for(int j=1;j<40;j++)
         {
              if(i==j)
                   f[i][j]=f[i][j-1];
              else
                   f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][j];
         }
    }
    int n;
    int ks=1;
    while(cin>>n&&n!=-1)
    {
        //cout<<f[n][n]<<endl;
        printf("%d %d %lld\n",ks++,n,2*f[n][n]);
    }
    return 0;
}

题解：

参考http://blog.youkuaiyun.com/hackbuteer1/article/details/7450250
此题属于卡特兰数列经典之一

代码：

#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
    long long Cata[40];
    Cata[0]=Cata[1]=1;
    for(int i=2;i<=35;i++){
        for(int j=0;j<i;j++){
            Cata[i] += Cata[j]*Cata[i-j-1];
        }
    //  printf("%lld\n",Cata[i]);
    }
    int kase=0,n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF && n>0){
        printf("%d %d %lld\n",++kase,n,2*Cata[n]);
    }
    return 0;
}