算法与数据结构（四）

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统一：假设图没有自环边和平行边

1. 稠密图 - 邻接矩阵

对于稠密图，使用邻接矩阵来表示，用一个n*n二维数组（n个节点）来表示是否有边。

2. 稀疏图 - 邻接表

对于稀疏图，使用邻接表来表示，用链表数组来存储连接信息

3. 图的操作

1. 使用深度遍历来求图的连通分量
2. 使用栈进行广度优先遍历（寻路算法）

4. 最小生成树算法

1. lazy prim 算法（算法复杂度 O( E log(E))
   先定一个起点，记录起点并找到该点连接的所有未访问过的边放入最小堆中，找到最小边，判断是否访问过的点，是就抛弃，不是就记录该点，并将该点连接的所有未访问过的边加入最小堆中。。。直到所有点都记录完全。
2. prim 算法（优化、算法复杂度O( E log(V))
   优化 lazy prim 算法，将最小堆改为最小索引堆。堆中 data 存权值，index作为连接的点，若访问点连接的点的边在堆中为空或者比堆中的小就替换该点的 data 值。
3. kruskal 算法（算法复杂度（O( E log(E))
   把所有边都加入到最小堆中，把最小的边取出来，通过并查集判断两点是否连通，不连通则记录点和边，并将加入到并查集中，以此类推。

单源最短路径算法

松弛操作：尝试能不能从一点出发经由另外的点找到到另一点更短的路径

1. Dijkstra 算法（算法复杂度O( E log(V))
   前提：不能有负权边
   从定义的起点开始，把点和边加入到最小索引堆中，记录该点，把连接的边都取出来判断连接的点是否被记录，记录的点丢弃，否则判断连接的点是为空则加入堆中，或者值比连接的边大则改变权值，以此类推。
2. Bellman-Ford 算法（算法复杂度（O( E V ))
   前提：可以有负权边但不能有负权环。（可以判断是否后负权环）
   从0开始遍历 V-1 遍，每一遍都对所有边进行松弛操作，早点更小的路径并更新。遍历晚后可再进行对所有边进行一次松弛操作，如果此时有更小的路径更新则该图有负权环。

优化： 利用队列数据结构进行优化（queue-based bellman-ford算法）

扩展

1. 对于有向无环图（DAG）可使用拓扑排序，算法复杂度O( V+E )
2. 所有点最短路径算法，可以执行V次Dijkstra算法或者Bellman-Ford算法，也可以使用Floyed算法，处理无负权环的图，算法复杂度O(V^3)
3. 最长路径算法不能有正权环，指数级的难度，无权图的问题是指数级难度的，而对于有权图不能使用Dijkstra算法。可以使用Bellman-Ford算法（将所有权值取负）

算法思想：

• 分治：归并排序；快速排序；树结构
• 贪心：选择排序；堆；Kruskal；Prim；Dijkstra
• 递归回溯：树的遍历；图的遍历
• 动态规划：Prim；Dijkstra