Vijos - 1037 搭建双塔 动态规划(DP) 重庆一中高2018级竞赛班第七次测试 2016.8.4 Problem 2

【问题描述】
2001年9月11日，一场突发的灾难将纽约世界贸易中心大厦夷为平地，Mr. F曾亲眼目睹了这次灾难。为了纪念“9?11”事件，Mr. F决定自己用水晶来搭建一座双塔。
Mr. F有N块水晶，每块水晶有一个高度，他想用这N块水晶搭建两座有同样高度的塔，使他们成为一座双塔，Mr. F可以从这N块水晶中任取M（1≤M≤N）块来搭建。但是他不知道能否使两座塔有同样的高度，也不知道如果能搭建成一座双塔，这座双塔的最大高度是多少。所以他来请你帮忙。
给定水晶的数量N（1≤N≤100）和每块水晶的高度Hi（N块水晶高度的总和不超过2000），你的任务是判断Mr. F能否用这些水晶搭建成一座双塔（两座塔有同样的高度），如果能，则输出所能搭建的双塔的最大高度，否则输出“Impossible”。

【输入格式】
输入的第一行为一个数N，表示水晶的数量。第二行为N个数，第i个数表示第i个水晶的高度。

【输出格式】
输出仅包含一行，如果能搭成一座双塔，则输出双塔的最大高度，否则输出一个字符串“Impossible”。

【输入样例】

5
1 3 4 5 2

【输出样例】

7

【数据范围】
50%的数据：1≤N≤20，N块水晶高度的总和不超过2000；
70%的数据：1≤N≤100，N块水晶高度的总和不超过2000；
100%的数据：1≤N≤100，N块水晶高度的总和不超过500000。

思路：两种（递推，动态规划）

• 70分题解：递推，设f[i][j]为能否搭建第一座高度为i，第二座高度为j的塔。代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define maxn 2000
using namespace std;

int n,h[maxn],sum[maxn];
bool f[maxn][maxn];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int tot=0;
    memset(sum,0,sizeof(sum));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        sum[i]=sum[i-1];
        scanf("%d",&h[i]);
        sum[i]+=h[i];
        tot+=h[i];
    }

    memset(f,0,sizeof(f));
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int a=sum[i];a>=0;a--)
        {
            for(int b=sum[i]-a;b>=0;b--)
            {
                if(a-h[i]>=0 && f[a-h[i]][b]) f[a][b]=1;
                if(b-h[i]>=0 && f[a][b-h[i]]) f[a][b]=1;
                //f[a][b]=(f[a][b] || f[a-h[i]][b] || f[a][b-h[i]]);
            }
        }
    }

    for(int i=tot/2;i>0;i--)
    {
        if(f[i][i])
        {
            printf("%d\n",i);
            return 0;
        }
    }
    printf("Impossible\n");
    return 0;
}

• 100分题解：动态规划，用滚动数组。f[i%2][j]:用前i块水晶搭建高度差为j的两座塔，低塔的最大高度。代码如下：

/*
    Name: tower.cpp
    Copyright: Twitter & Instagram @stevebieberjr
    Author: @stevebieberjr
    Date: 05-08-16 15:49
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,a[105],sum[105];
int f[2][500005]; //用前i块水晶搭建高度差为j的两座塔，低塔的最大高度 

int main()
{
    freopen("tower.in","r",stdin);
    freopen("tower.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    memset(f,-1,sizeof(f));
    f[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=sum[i];j>=0;j--)
        {
            f[i%2][j]=f[(i-1)%2][j]; //不放第i块水晶 
            if(j-a[i]>=0 && f[(i-1)%2][j-a[i]]!=-1) //放在高塔上还是高塔 
            {
                f[i%2][j]=max(f[i%2][j],f[(i-1)%2][j-a[i]]);
            }
            if(j+a[i]<=sum[i] && f[(i-1)%2][j+a[i]]!=-1) //放在低塔上还是低塔 
            {
                f[i%2][j]=max(f[i%2][j],f[(i-1)%2][j+a[i]]+a[i]);
            }
            if(a[i]-j>=0 && f[(i-1)%2][a[i]-j]!=-1) //放在低塔上，低塔成了高塔
            {
                f[i%2][j]=max(f[i%2][j],f[(i-1)%2][a[i]-j]+a[i]-j);
            } 
        }
    }

    if(f[n%2][0]>0)
    {
        printf("%d\n",f[n%2][0]);
    }
    else
    {
        printf("Impossible\n");
    }
    return 0;
}