Transformer——Q135 证明二阶优化器（Shampoo）的逆矩阵近似误差传播

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该问题归类到Transformer架构问题集——训练与优化——优化器。请参考LLM数学推导——Transformer架构问题集。

1. 问题背景

随着大语言模型（LLM）的参数规模呈指数级增长，传统的一阶优化器，如随机梯度下降（SGD）及其变体 Adam 等，在训练效率和收敛速度上逐渐难以满足需求。一阶优化器仅利用梯度（一阶导数）信息更新参数，在面对复杂的损失函数地形时，容易陷入局部最优或在平坦区域缓慢收敛。而二阶优化器能够利用 Hessian 矩阵（二阶导数矩阵）所包含的曲率信息，理论上可以更精准地确定参数更新方向，加速模型收敛。

然而，直接计算和存储 Hessian 矩阵对于大规模的 LLM 来说是不可行的，因为其计算复杂度和内存需求都极高。以 GPT-3 为例，拥有 1750 亿个参数的模型，其 Hessian 矩阵的元素数量将达到惊人的量级。为解决这一问题，Shampoo 优化器应运而生。它通过对参数矩阵进行分解，并近似计算其逆矩阵来更新参数。但这种近似计算不可避免地会产生误差，而误差在训练过程中的传播情况，直接影响着优化器的性能和模型训练的稳定性，因此分析其逆矩阵近似误差传播具有重要意义。

2. 技术原理

Shampoo 优化器基础

Shampoo 优化器的核心思想是对参数矩阵进行分块分解，分别对每个块计算自适应的学习率。假设模型的参数矩阵为 $\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，Shampoo 将其沿着行和列维度进行分解。

矩阵分解：将 $\mathbf{W}$ 在行维度上划分为r个块，在列维度上划分为s个块，即 $\mathbf{W} = [\mathbf{W}_{ij}]_{r \times s}$ ，其中 $\mathbf{W}_{ij} \in \mathbb{R}^{m_i \times n_j}$ ，且 $\sum_{i=1}^{r}m_i = m$ ， $\sum_{j=1}^{s}n_j = n$ 。
计算统计量：对于每个子块 $\mathbf{W}_{ij}$ ，计算其梯度的累积量。设第t次迭代的梯度为 $\mathbf{G}_{ij}^t$ ，计算一阶矩 $\mathbf{M}_{ij}^t$ 和二阶矩 $\mathbf{V}_{ij}^t$ ：

$\mathbf{M}_{ij}^t = \beta_1 \mathbf{M}_{ij}^{t - 1} + (1 - \beta_1) \mathbf{G}_{ij}^t$

$\mathbf{V}_{ij}^t = \beta_2 \mathbf{V}_{ij}^{t - 1} + (1 - \beta_2) (\mathbf{G}_{ij}^t)^2$

其中， $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 是衰减因子，通常取值接近 1。

逆矩阵近似：为了更新参数，需要计算每个子块对应的逆矩阵近似值。这里通过对二阶矩 $\mathbf{V}_{ij}^t$ 进行操作来近似其逆矩阵。一种常见的近似方法是利用 $\mathbf{V}_{ij}^t$ 的对角元素或低秩近似来计算逆矩阵的近似值 $\tilde{\mathbf{V}}_{ij}^{-1}$ 。
参数更新：根据计算得到的近似逆矩阵和一阶矩，更新参数子块：

$\mathbf{W}_{ij}^{t + 1} = \mathbf{W}_{ij}^t - \eta \cdot \tilde{\mathbf{V}}_{ij}^{-1} \cdot \mathbf{M}_{ij}^t$

其中， $\eta$ 为学习率。

逆矩阵近似误差的产生

由于直接计算精确的逆矩阵在大规模场景下不可行，Shampoo 采用近似方法计算逆矩阵。这种近似必然会引入误差。例如，在使用对角近似时，忽略了矩阵非对角元素的信息；在低秩近似中，由于截断了部分奇异值，也会导致与真实逆矩阵存在偏差。这些误差在每次参数更新时都会影响参数的调整方向和幅度。

误差传播推导

设 $\mathbf{E}_{ij}^t$ 表示第t次迭代时参数子块 $\mathbf{W}_{ij}$ 的逆矩阵近似误差，即 $\tilde{\mathbf{V}}_{ij}^{-1} = \mathbf{V}_{ij}^{-1} + \mathbf{E}_{ij}^t$ 。

将其代入参数更新公式：

$\begin{aligned} \mathbf{W}_{ij}^{t + 1} &= \mathbf{W}_{ij}^t - \eta \cdot (\mathbf{V}_{ij}^{-1} + \mathbf{E}_{ij}^t) \cdot \mathbf{M}_{ij}^t\\ &= \mathbf{W}_{ij}^t - \eta \cdot \mathbf{V}_{ij}^{-1} \cdot \mathbf{M}_{ij}^t - \eta \cdot \mathbf{E}_{ij}^t \cdot \mathbf{M}_{ij}^t \end{aligned}$

可以看出，误差项 $\mathbf{E}_{ij}^t$ 会随着参数更新而传播。在后续的迭代中，新产生的梯度 $\mathbf{G}_{ij}^{t+1}$ 会基于更新后的参数 $\mathbf{W}_{ij}^{t + 1}$ 计算，而 $\mathbf{W}_{ij}^{t + 1}$ 包含了之前的误差，这就导致误差会不断累积和传递。如果误差不能得到有效控制，可能会使参数更新偏离正确方向，影响模型的收敛速度，甚至导致训练不稳定。

实际案例分析

以训练一个包含多层 Transformer 的语言模型为例，在训练初期，参数更新频繁且梯度变化较大。若 Shampoo 优化器在近似逆矩阵时产生较大误差，比如在某一层的参数子块中，由于对角近似忽略了非对角元素对参数更新的影响，导致该层参数更新不准确。随着训练的进行，这种误差会传递到后续层，使得后续层基于错误的参数进行计算，进一步扩大误差。例如，在注意力机制的计算中，错误的参数更新可能导致注意力权重计算偏差，使得模型无法正确捕捉文本中的语义关联，最终影响模型生成文本的质量和准确性。

3. LLM 中的使用示例

示例 1：GPT 系列模型训练

在 GPT-3 或 GPT-4 的训练过程中，Shampoo 优化器的逆矩阵近似误差传播问题会对训练产生显著影响。由于模型参数规模巨大，逆矩阵近似误差更容易累积。在训练初期，若误差未得到有效控制，可能会导致模型在学习语言的基础语法和语义结构时出现偏差。例如，在生成文本时，可能会频繁出现语法错误或语义不通顺的情况。通过合理调整近似方法和相关超参数，如优化对角近似的方式或调整低秩近似的秩，可以在一定程度上减少误差传播，提高模型的训练效果和生成文本的质量。

示例 2：BERT 模型微调

在对 BERT 模型进行微调时，针对不同的下游任务，数据特点和模型的参数更新需求各不相同。如果 Shampoo 优化器的逆矩阵近似误差较大，在处理文本分类任务时，可能会使模型无法准确捕捉文本中的关键特征，导致分类准确率下降。例如，在情感分析任务中，错误的参数更新可能使模型将积极情感误判为消极情感。通过在微调过程中动态监测误差，并根据误差情况调整优化器的参数，如衰减因子 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ ，可以缓解误差传播的影响，提升微调效果。

示例 3：多模态大语言模型训练

对于多模态大语言模型，如处理文本和图像数据的模型，数据的复杂性使得 Shampoo 优化器的误差传播问题更为突出。在融合图像和文本信息的过程中，若逆矩阵近似误差未得到妥善处理，可能会导致模型无法正确学习两种模态数据之间的关联。例如，在图文生成任务中，模型可能会生成与图像内容不匹配的文本描述。通过采用更精细的逆矩阵近似策略，结合多模态数据的特点进行误差修正，可以有效减少误差传播，提高模型在多模态任务中的性能。

4. 优缺点分析

优点

高效性：相较于直接计算 Hessian 矩阵的二阶优化器，Shampoo 通过矩阵分解和近似逆矩阵计算，大幅降低了计算复杂度和内存需求，适用于大规模 LLM 的训练，在计算效率上优于传统一阶优化器。

自适应学习率：能够根据参数矩阵的不同子块分别计算自适应学习率，针对不同参数的更新需求进行精细化调整，使得模型在训练过程中能够更合理地更新参数，有助于加快收敛速度。

理论优势：利用二阶导数信息，相比一阶优化器，在理论上能够更好地适应复杂的损失函数地形，找到更优的参数解，提升模型的性能上限。

缺点

误差累积问题：逆矩阵近似误差容易在训练过程中累积和传播，可能导致参数更新偏离最优方向，影响模型的收敛速度和最终性能，严重时甚至会使训练不稳定。

超参数敏感：Shampoo 优化器包含多个超参数，如衰减因子 $\beta_1$ 、 $\beta_2$ ，以及与逆矩阵近似相关的参数等。这些超参数的选择对优化效果影响较大，不同的模型和任务需要进行大量实验来确定最优超参数组合，增加了使用难度和调参成本。

实现复杂：其实现过程涉及矩阵分解、逆矩阵近似等复杂操作，相比一阶优化器，代码实现难度较大，对开发者的技术要求更高。

5. 优化策略

改进逆矩阵近似方法

采用更精确的逆矩阵近似技术，如基于奇异值分解（SVD）的低秩近似时，通过动态调整保留的奇异值数量，平衡计算复杂度和近似精度。或者尝试使用更先进的近似算法，如利用随机算法进行逆矩阵近似，在保证一定精度的同时降低计算量。

动态调整超参数

在训练过程中，通过实时监测误差情况和模型的训练状态，动态调整超参数。例如，当发现误差有明显累积趋势时，适当减小学习率 $\eta$ ，降低误差对参数更新的影响；根据梯度的变化情况，动态调整衰减因子 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ ，以更好地适应不同阶段的训练需求。

结合其他优化技术

将 Shampoo 优化器与其他优化技术相结合，如与梯度裁剪技术结合，限制梯度的大小，防止因梯度过大导致误差快速累积和传播；或者与学习率调度策略结合，在训练初期采用较大的学习率加快收敛，后期逐渐减小学习率以减少误差影响，提高模型的稳定性和泛化能力。

6. 代码示例（Python，基于 PyTorch）

import torch

import torch.nn as nn

class ShampooOptimizer:

def __init__(self, params, lr=0.001, beta1=0.9, beta2=0.999, epsilon=1e-8):

self.params = list(params)

self.lr = lr

self.beta1 = beta1

self.beta2 = beta2

self.epsilon = epsilon

self.ms = [torch.zeros_like(p) for p in self.params]

self.vs = [torch.zeros_like(p) for p in self.params]

def step(self):

for i, p in enumerate(self.params):

grad = p.grad

self.ms[i] = self.beta1 * self.ms[i] + (1 - self.beta1) * grad

self.vs[i] = self.beta2 * self.vs[i] + (1 - self.beta2) * (grad ** 2)

# 简单的对角近似逆矩阵

diag_approx_inv = 1 / (torch.sqrt(self.vs[i]) + self.epsilon)

p.data -= self.lr * diag_approx_inv * self.ms[i]

# 定义一个简单的神经网络模型

class SimpleModel(nn.Module):

def __init__(self):

super(SimpleModel, self).__init__()

self.fc1 = nn.Linear(10, 20)

self.relu = nn.ReLU()

self.fc2 = nn.Linear(20, 2)

def forward(self, x):

out = self.fc1(x)

out = self.relu(out)

out = self.fc2(out)

return out

# 实例化模型、损失函数和优化器

model = SimpleModel()

criterion = nn.CrossEntropyLoss()

optimizer = ShampooOptimizer(model.parameters())

# 训练循环

num_epochs = 10

for epoch in range(num_epochs):

running_loss = 0.0

for i in range(10):

# 生成随机数据

inputs = torch.randn(1, 10)

labels = torch.tensor([0])

optimizer.zero_grad()

outputs = model(inputs)

loss = criterion(outputs, labels)

loss.backward()

optimizer.step()

running_loss += loss.item()

print(f'Epoch {epoch + 1}, Loss: {running_loss / 10}')

7. 代码解读

ShampooOptimizer 类定义：定义了 Shampoo 优化器类，初始化函数中接收模型参数、学习率lr、衰减因子beta1和beta2以及用于数值稳定性的epsilon。同时，初始化了用于存储一阶矩ms和二阶矩vs的列表，其形状与模型参数相同。

step 方法：在每次参数更新时调用，计算每个参数的一阶矩和二阶矩，并通过简单的对角近似计算逆矩阵（将二阶矩的平方根取倒数作为逆矩阵近似），最后根据公式更新参数。

模型定义：定义了一个包含两个全连接层的简单神经网络模型SimpleModel，用于演示 Shampoo 优化器的使用。

实例化与训练循环：实例化模型、交叉熵损失函数criterion和 Shampoo 优化器optimizer。在训练循环中，生成随机数据进行训练，每次迭代先清空梯度，进行前向传播计算损失，反向传播计算梯度，然后使用 Shampoo 优化器更新参数，并打印每个 epoch 的平均损失。

8. 总结

二阶优化器 Shampoo 通过矩阵分解和逆矩阵近似，在大规模 LLM 训练中展现出提高训练效率的潜力。然而，其逆矩阵近似误差传播问题对模型训练效果有着不可忽视的影响。尽管存在误差累积、超参数敏感和实现复杂等缺点，但通过改进逆矩阵近似方法、动态调整超参数以及结合其他优化技术等策略，可以有效缓解误差传播的负面影响。在实际的 LLM 训练中，合理应用 Shampoo 优化器并采取相应的优化策略，有助于提升模型的训练效率和性能，推动大语言模型技术的发展。