Transformer数学推导——Q34 推导位置插值（Position Interpolation）在长文本外推中的误差上界

该问题归类到Transformer架构问题集——位置编码——绝对位置编码。请参考LLM数学推导——Transformer架构问题集。

1. 长文本外推与位置插值背景介绍

在大语言模型（LLM）的实际应用中，我们常常会遇到这样的情况：模型在训练时接触的文本长度有限，但在实际使用中，可能需要处理比训练文本长得多的内容，这就是长文本外推。想象一下，模型就像一个学生，在课堂上学习了各种知识和文章（训练文本），但在考试或实际写作中，可能要面对一篇超长的论文或小说（长文本），如何让模型在这种超出 “学习范围” 的情况下依然能稳定发挥，是个关键问题。

而位置插值（Position Interpolation）就是应对长文本外推的一种重要技术手段。在 Transformer 模型中，位置编码用于表示文本中每个词的位置信息。当处理长文本外推时，由于超出了原始训练的位置范围，就需要通过位置插值的方法，在已有的位置编码基础上，生成新的、适用于更长文本的位置编码。这就好比在地图上，已知一些地点的坐标（已有的位置编码），当我们要探索更远处的区域时，需要通过一定的方法估算出这些新区域的坐标（新的位置编码），位置插值就是这个估算的过程。

2. 位置插值的基本原理

常见的位置插值方法有线性插值等。以线性插值为例，假设我们有两个已知的位置编码和，分别对应位置 i 和 j，现在要计算位置 k（i < k < j）的位置编码。

线性插值的公式为：。这个公式的含义很直观，它根据位置 k 在 i 和 j 之间的相对位置，对和进行加权组合，从而得到。

例如，在一个简单的文本序列中，位置 1 的位置编码是，位置 3 的位置编码是，要计算位置 2 的位置编码，根据线性插值公式：