21、非线性常微分方程自适应反推控制基础

非线性常微分方程自适应反推控制基础

在非线性系统的控制领域，自适应反推控制是一种重要的方法。本文将深入探讨自适应反推控制的模块化设计、输出反馈设计以及相关扩展内容。

1. 模块化设计

在传统的调谐函数设计中，控制器和辨识器的设计相互交织，导致控制器复杂度增加，且在选择更新律时缺乏灵活性。模块化设计则旨在将控制器与不同的辨识器（如梯度、最小二乘法、基于无源性的辨识器等）相结合，以提高设计的灵活性。

1.1 控制器设计

为了防止非线性系统因参数误差 $\tilde{\theta}$ 导致的无界行为，需要设计更强的控制器。以标量系统 $\dot{x} = u + \phi(x)\theta$ 为例，应用控制器 $u = -x - \phi(x)\hat{\theta}$ 得到误差系统 $\dot{x} = -x + \phi(x)\tilde{\theta}$。当 $\tilde{\theta}(t) = e^{-t}$ 且 $\phi(x) = x^3$ 时，对于初始条件 $|x_0| > \sqrt{\frac{3}{2}}$，系统不仅不稳定，而且其解会在有限时间内趋于无穷。

为了解决这个问题，我们在控制器中加入非线性阻尼项 $-\phi(x)^2x$，得到更强的控制器 $u = -x - \phi(x)\hat{\theta} - \phi(x)^2x$。此时，闭环系统为 $\dot{x} = -x - \phi(x)^2x + \phi(x)\tilde{\theta}$。通过选取 Lyapunov 函数 $V = \frac{1}{2}x^2$，可以证明当 $\tilde{\theta}$ 有界时，$x$ 也有界。