20、自适应控制：逆最优控制与自适应反步设计

自适应控制：逆最优控制与自适应反步设计

1. 逆最优控制

在控制理论中，逆最优控制是一种重要的设计方法。这里提出了一种不同的控制器：
[U^*(t) = - \left(1 + 3|\hat{\lambda}(t)| + |\hat{\lambda}(t)|^2\right) \left(u(1, t) - \int_0^1 k(1, y, \hat{\lambda}(t))u(y, t) dy \right)]

在讨论该控制器的稳定性和逆最优性之前，先引入一个泛函：
[L(u, \hat{\lambda})(t) = 2\int_0^1 w_x(x, t, \hat{\lambda}(t))^2 dx - \frac{\int_0^1 w(x, t, \hat{\lambda}(t))^2 dx}{1 + \int_0^1 w(x, t, \hat{\lambda}(t))^2 dx} \times \int_0^1 w(x, t, \hat{\lambda}(t)) \int_0^x yw(y, t, \hat{\lambda}(t)) dy dx + 2l(1, 1, \hat{\lambda}(t))w(1, t, \hat{\lambda}(t))^2 + 2w(1, t, \hat{\lambda}(t)) \int_0^1 l_x(1, y, \hat{\lambda}(t))w(y, t, \hat{\lambda}(t)) dy + (1 + 3|\hat{\lambda}(t)| + |\hat{\lambda}(t)|^2)w(1, t, \hat{\lambda}(t))^2]

通过引理可以证明该泛函是正定的，引理如下：
对于