18、输出反馈控制：轨迹跟踪与Ginzburg-Landau方程的自适应控制

输出反馈控制：轨迹跟踪与Ginzburg-Landau方程的自适应控制

1. 轨迹跟踪

在许多实际控制问题中，我们常常希望系统的输出能够跟踪一个预先设定的轨迹。考虑一个系统，我们期望其输出 $u(0, t)$ 能够跟随一个规定的轨迹 $r(t)$，这里假设 $r(t)$ 是解析且有界的。

1.1 问题转化

将系统转换为观测器规范型后，我们的目标可以重新表述为 $v(0, t) \to r(t)$。如果系统的参数 $\theta(x)$ 和 $\theta_1$ 是已知的，设计过程可以分为两个步骤：
1. 生成全状态的轨迹 $v_r(x, t)$，使得 $v_r(0, t) = r(t)$，并且 $v_r(x, t)$ 满足特定的方程。
2. 围绕该轨迹对系统进行稳定控制。

然而，当参数未知时，我们无法直接生成 $v_r(x, t)$。因此，我们的方法是为标称目标系统生成轨迹 $w_r(x, t)$。如果变换后的系统能够跟踪 $w_r(x, t)$，特别是 $w(0, t) \to r(t)$，那么输出 $v(0, t) = w(0, t)$ 也将跟踪 $r(t)$。

1.2 标称目标系统

标称目标系统由以下柯西 - 柯瓦列夫斯卡娅问题定义：
- $w_{r,t}(x, t) = w_{r,xx}(x, t)$
- $w_{r,x}(0, t) = 0$
- $w_r(0, t) = r(t)$

其解为：
$w_r(x, t) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{r^{(n)}(t)x^{2n}}{(2n)!}$