17、偏微分方程自适应输出反馈控制：理论与仿真

偏微分方程自适应输出反馈控制：理论与仿真

1. 引言

在控制理论领域，偏微分方程（PDE）系统的输出反馈控制是一个具有挑战性的问题，特别是当系统存在参数不确定性时。本文将探讨两种自适应控制方案：基于Lyapunov的自适应方案和基于交换的自适应识别方案，并详细介绍具有空间变化系数的PDE系统的输出反馈控制设计。

2. 自适应控制方案仿真

2.1 基于Lyapunov的自适应方案

考虑边界条件存在参数不确定性的系统（12.44） - （12.46）。设定系统参数$q = 2$，其不稳定特征值约为3.6。初始估计值$\hat{q}(0) = 1$，自适应增益$\gamma = 2.2$，归一化增益$a = 50$，且假设传感器测量存在噪声。

仿真结果如图12.1 - 12.3所示。从图12.1（状态响应）可以看出，尽管在$x = 0$边界出现不稳定，但系统通过相反边界的控制成功调节到零。图12.2展示了受传感器噪声干扰的输出，图12.3显示了参数估计。由于噪声和缺乏持续激励，识别器高估了参数，参数估计值波动（由于噪声，不会收敛到恒定值），但似乎不会漂移。

2.2 基于交换的自适应识别方案

对于区域内存在参数不确定性的系统（12.86） - （12.88），未知参数设定为$g = 4$，不稳定特征值约为2.4。参数的初始估计值$\hat{g}(0) = 2$，并在反馈中添加常数边界输入$u_1 = 2$。

仿真结果如图12.4和12.5所示。图12.4比较了参数估计的演变与$u_1 = 0$的情况，可以看到未知参数被成功识别。图12.5展示了闭环状态，在$t = 3$时关闭额