16、闭环自适应输出反馈控制器设计与分析

闭环自适应输出反馈控制器设计与分析

1. 含边界条件未知参数系统的Lyapunov设计

1.1 系统描述

考虑如下系统：
[
\begin{cases}
u_t(x, t) = u_{xx}(x, t) \
u_x(0, t) = -qu(0, t) \
u(1, t) = U(t)
\end{cases}
]
其中，$q$ 是未知常数参数，$U(t)$ 是控制输入，仅 $u(0, t)$ 可测量。当 $U(t) \equiv 0$ 且 $q > 1$ 时，该偏微分方程（PDE）不稳定。系统在频域的传递函数为：
[u(0, s) = \frac{\sqrt{s}}{\sqrt{s} \cosh \sqrt{s} - q \sinh \sqrt{s}} u(1, s)]
此传递函数有无限多个极点且无零点，是无限相对阶系统，当 $q \to +\infty$ 时，有一个不稳定极点近似等于 $q^2$。

1.2 控制器设计

• 标称全状态反馈 ：
  [U(t) = -\int_0^1 q e^{q(1 - y)} u(y, t) dy]
• 状态估计 ：使用输入滤波器（12.6） - （12.8）和输出滤波器
  [
  \begin{cases}
  v_t(x, t) = v_{xx}(x, t) \
  v_x(0, t) = -u(0, t) \
  v(1, t) = 0
  \end{cases