15、偏微分方程自适应控制方法解析

偏微分方程自适应控制方法解析

1. 含未知对流和扩散参数的系统的Lyapunov设计

当参数 $\varepsilon(x)$ 和 $b(x)$ 未知时，为设计自适应方案，引入额外的参数估计 $\hat{b} 1(x)$、$\hat{\varepsilon}_1(x)$ 和 $\hat{\varepsilon}_2(x)$，分别用于估计 $b’(x)$、$\varepsilon’(x)$ 和 $\varepsilon’‘(x)$。这样做的目的是避免在设计中使用状态导数 $u_x$ 或 $u {xx}$，因为当状态有噪声时，计算这些导数会有问题。

给定六个函数估计 $\hat{\lambda}$、$\hat{b}$、$\hat{b} 1$、$\hat{\varepsilon}$、$\hat{\varepsilon}_1$、$\hat{\varepsilon}_2$，增益核的偏微分方程为：
[
\begin{cases}
\hat{\varepsilon}(x)\hat{k} {xx}(x, y) - \hat{\varepsilon}(y)\hat{k} {yy}(x, y) = (\hat{\lambda}(y) - \hat{b}_1(y) + \hat{\varepsilon}_2(y) + c)\hat{k}(x, y) - \hat{b}(x)\hat{k}_x(x, y) - (\hat{b}(y) - 2\hat{\varepsilon}_1(y))\hat{k}_y(x, y) & (11.90)\
\hat{k}(x, 0) = 0 & (11.91)\
\hat{