14、偏微分方程自适应控制方法研究

偏微分方程自适应控制方法研究

1. 确定性等价设计与仿真

在相关研究中，利用某些函数的有界性以及引理，可得出随着时间趋于无穷，一些变量如 $\hat{w}$、$v$、$p$ 等趋于 0。通过一系列推导，能证明系统的某些变量如 $u$ 也趋于 0，具体推导如下：
由于 $l_1$ 是有界函数，根据引理 D.2 可得 $V \to 0$，进而 $\hat{w}, v, p \to 0$（当 $t \to \infty$）。由 (10.36) 可知 $\eta \to 0$，再根据 (10.4) 可得 $u \to 0$（当 $t \to \infty$）。利用 $|u_x|$ 的有界性，通过 Agmon 不等式可得：
$\lim_{t \to \infty} \max_{x \in [0,1]} |u(x, t)| \leq \lim_{t \to \infty} 2|u|^{1/2}|u_x|^{1/2} = 0$。

为了验证所提出的自适应方案，进行了仿真实验。针对具有参数 $\varepsilon = 1$，$b = 2$，$\lambda = 15$ 的系统，该系统有一个不稳定特征值在 +4.1。初始估计设置为 $\hat{\varepsilon}(0) = 3$，$\hat{b}(0) = 5$，$\hat{\lambda}(0) = 2$。采用隐式 BTCS 有限差分方案，在空间上进行 100 步离散化。仿真结果表明，尽管在未知扩散系数的情况下仅证明了标识符的性质（而非闭环稳定结果），但自适应控制器仍成功稳定了系统。并且，正如自适应调节问题所预期的那样，参数估计收敛到接近但不完全等于真实参数值。

2. 具有空间变化系数的偏微分方程状态反馈问题