6、系统控制与观测器设计

系统控制与观测器设计

1. 系统控制基础

在系统控制中，对于一些问题可以使用特定控制器来实现稳定。例如，有控制器

U(t) = −exp
{
    ∫₀ᵗ λ(τ) dτ
} ∫₀¹ cy
I₁(√(c(1 - y²)))
/ √(c(1 - y²))
v(y, t) dy
= − ∫₀¹ cy
I₁(√(c(1 - y²)))
/ √(c(1 - y²))
u(y, t) dy.

闭环 v - 系统的衰减率等于目标系统的衰减率，即 (e^{-(c + π²)t})。为保证 u - 系统的闭环稳定性，需满足条件 (c > \limsup_{t→∞} λ(t) - π²)，若 (λ ∈ L¹(0, ∞) ∪ L²(0, ∞))，则 (c > -π²)。

不过，该控制器虽能对任意 (λ(t)) 稳定系统，但在 (λ(t)) 最值接近时最为适用，比如 (λ(t)) 为常数加小振幅正弦函数的情况。当 (λ(t)) 有显著起伏时，此方法可能会使用不必要的大初始控制量，或者导致初始性能不佳。此时，另一种设计可能更具优势。

1.1 更复杂系统的控制

对于更复杂的系统，可以将之前的解决方案进行组合。以下是两个示例：

1.1.1 示例 3.3

考虑如下系统：

ut(x, t) = εuxx(x, t) + (λσ(x) + λ₀) u(x, t),
u(0, t) = 0,
u(1, t) = U(t).