4、系统控制中的状态反馈与反步法研究

系统控制中的状态反馈与反步法研究

1. 正交基与特征值分配

利用Volterra核之间的关系 (l(x, y) - k(x, y) = \int_{y}^{x} k(x, \xi)l(\xi, y) dy)，可以容易地证明 ({\varphi_n} {n = 0}^{\infty}) 和 ({\psi_n} {n = 0}^{\infty}) 是正交基。虽然不能任意分配无限多个特征值，但我们的控制器能够将所有特征值分配到特定位置 (-(c + \varepsilon\mu_n^2))，闭环系统的特征函数被分配为 (\varphi_n(x))。

2. 狄利克雷非受控端情况

2.1 系统模型

考虑如下系统：
(u_t(x, t) = \varepsilon u_{xx}(x, t) + \lambda(x)u(x, t) + g(x)u_x(0, t) + \int_{0}^{x} f(x, y)u(y, t) dy)
(u(0, t) = 0)
(u(1, t) = U(t))
由于 (u(0, t) = 0)，原方程中的 (g(x)u(0, t)) 项无意义，将其替换为 (g(x)u_x(0, t))。

2.2 变换与目标系统

使用变换 (w(x, t) = u(x, t) - \int_{0}^{x} k(x, y)u(x, t) dy)，可将原系统映射到目标系统：
(w_t(x, t) = \varepsilon w_{xx}(x, t) - cw(x, t))
(w(0, t) = 0)
(w(1, t) = 0