3、状态反馈控制：基于反步法的系统稳定化设计

状态反馈控制：基于反步法的系统稳定化设计

1. 问题提出

在控制理论中，对于一类线性抛物型偏积分 - 微分方程（P(I)DEs）的系统稳定化问题是一个重要的研究方向。这类系统的方程如下：
[
u_t(x, t) = \varepsilon(x)u_{xx}(x, t) + b(x)u_x(x, t) + \lambda(x)u(x, t) + g(x)u(0, t) + \int_{0}^{x} f(x, y)u(y, t) dy
]
其中，(x \in (0, L))，(t > 0)，边界条件为：
[
u_x(0, t) = -qu(0, t), \quad u(L, t) = U(t)
]
这里，(U(t)) 是控制输入。同时，对系统参数有如下假设：
- (\varepsilon(x) > 0)，对于所有 (x \in [0, L])，且 (\varepsilon \in C^3[0, L])。
- (q \in \mathbb{R})。
- (b \in C^2[0, L])。
- (\lambda, g \in C^1[0, L])。
- (f \in C^1([0, L] \times [0, L]))。

当 (q)、(\lambda(x))、(g(x)) 或 (f(x, y)) 为较大正数，且 (U(t) = 0) 时，系统是不稳定的。因此，目标是将系统的平衡点 (u(x, t) \equiv 0) 稳定下来。

1.1 变量变换

在进行控制设计之前，引入变量变换（规范变换）：
[
\b