8、同线性距离结构解析

同线性距离结构解析

1. 引言与基本概念

同线性距离模型中，染色体是一组 $n$ 个基因的子集，基因组是 $k$ 个染色体的集合。基因组可通过以下三种操作进行转换：
- 融合：$(S, T) \to U$，其中 $U = S \cup T$；
- 分裂：$S \to (T, U)$，其中 $T \cup U = S$；
- 易位：$(S, T) \to (U, V)$，其中 $U \cup V = S \cup T$。

两个基因组 $G1$ 和 $G2$ 之间的同线性距离是将 $G1$ 转换为 $G2$ 所需的最少操作数。

为了便于分析操作序列，采用紧凑表示法。对于将基因组 $G1$ 转换为 $G2$ 的实例，将 $G1$ 中每个基因 $a$ 重新标记为 $G2$ 中包含 $a$ 的染色体编号。例如，给定：
$G1 = {x, y}$（染色体 1），${p, q, r}$（染色体 2），${a, b, c}$（染色体 3）
$G2 = {p, q, x}$（染色体 1），${a, b, r, y, z}$（染色体 2）

$G1$ 相对于 $G2$ 的紧凑表示为 ${1, 2}$，${1, 2}$，${2}$；$G2$ 相对于 $G1$ 的紧凑表示为 ${1, 2}$，${1, 2, 3}$。用 $S(n, k)$ 表示紧凑表示中有 $n$ 个元素和 $k$ 个集合的同线性实例，$D(S(n, k))$ 表示解决该实例所需的最少操作数。

若两个集合 $S1$ 和 $S2$ 的交集不为空，则称它们是连通的，且属于同一个组件。对于基因 $\ell$，$count(\ell)$ 表示 $\ell$