2、LZW与Ziv - Lempel压缩文本的模式匹配算法解析

LZW与Ziv - Lempel压缩文本的模式匹配算法解析

1. LZW压缩文本模式匹配基础

在处理LZW压缩文本的模式匹配问题时，我们先从基础的理论证明入手。对于集合 $V(u)$，根据其定义，对于任意 $u = u’a$（其中 $u’ \in \Sigma^*$ 且 $a \in \Sigma$），有：
$V(u) = V(u’) \cup { |u| \mid m \leq |u| \text{ 且 } m \in \overline{M}(u) }$。
这里引入了函数 $Prev(u)$，它返回字典树 $D$ 中代表 $u$ 的最长真前缀 $v$ 的节点，且满足 $|v| \in V(u)$。于是，$V(u)$ 又可表示为：
$V(u) = V(Prev(u)) \cup { |u| \mid m \leq |u| \text{ 且 } m \in \overline{M}(u) }$。
函数 $Prev(u)$ 可以在 $O(1)$ 时间内完成查询，不过需要 $O(|D|)$ 的时间和空间来实现。所以，在字典树 $D$ 的每个节点 $u$ 中，只需存储 $Prev(u)$ 的值以及一个布尔值来指示 $|u|$ 是否属于 $V(u)$ 即可。

基于引理4、5和6，我们得到定理2：以 $(S, u) \in 2^{ {1, \ldots, m}} \times D$ 为输入并枚举集合 $Output(S, u)$ 的过程，能够在 $O(|D| + m)$ 时间内使用 $O(|D|)$ 空间实现，并且该过程相对于 $|Output(S, u)|$ 是线性时间复杂度。

现在，我们可以完全模拟Shift - And算法在未