54、IEEE 算术与异常详解

IEEE 算术与异常详解

1. IEEE 算术与异常简介

IEEE 算术与异常主要包含以下几个重要部分：
- 一组格式（浮点数的表示方式）
- 基本浮点算术运算精度的一组要求
- 基本算术运算支持的舍入模式规范
- 一组必须识别的异常
- 处理这些异常的规定

近 20 年来，符合 IEEE 标准的硬件在不同程度上已经存在。Fortran 95 中增加了对 IEEE 算术的部分支持，而 Fortran 2003 则规定了更完整的支持。

在深入了解 Fortran IEEE 内置模块的特性之前，我们先来看看浮点算术带来的基本问题。为了支持广泛的科学和工程计算，需要提供大范围的数值，例如绝对值大到 $10^{300}$，小到 $10^{-300}$。为了处理这样大小的数字，要么在所有计算中保留 600 - 700 位十进制数字（或 1800 - 2100 位二进制数字），这成本巨大；要么需要某种紧凑的表示形式，比如将数字逻辑地划分为包含某个基数的指数、小数部分和符号的部分。

由于可表示的数字范围是有限的，我们必须预料并规划如何处理计算结果超出可表示范围的情况。当结果超出范围时，会发生溢出（结果的绝对值太大）或下溢（结果的绝对值太小）。同样，由于可能需要比可用位数更多的位数来精确表示结果，结果必须进行舍入（缩短）以适应可用空间；当发生这种缩短时，结果被认为是不精确的，并会引发不精确异常。这种结果的舍入或缩短是表示精度有限的结果。因此，当超出范围或精度限制时，会发生浮点异常，在这些情况下，就是溢出、下溢或不精确异常。

IEEE 标准规定了每个浮点容器（存储字或中间存储）的限制，超出限制时会发生什么，以