23、正态分布数据方差估计量的若干特性

正态分布数据方差估计量的若干特性

在众多统计场景中，正态分布的数据极为常见。当我们获取到来自正态分布的样本时，往往会对估计其方差这一参数产生兴趣。接下来，我们将探讨几种不同的方差估计量及其特性。

1. 引言

正态分布的数据在许多情况下都会出现。例如，当一个随机误差是大量小误差的总和时，在一定条件下，根据中心极限定理，标准化后的误差总和近似服从均值为零的正态分布。

在统计推断中，我们通常希望找到一个合适的“最佳”估计量来估计正态分布的方差。常见的做法是关注无偏估计量，并从中挑选方差最小的，即均匀最小方差无偏估计量（UMVUE）。然而，我们也可以通过权衡估计量的偏差来降低方差，从而得到均方误差（MSE）更小的估计量，即最优MSE估计量。此外，还可以寻找一个使偏差平方和方差中的最大值最小的估计量，即minmax估计量。

考虑从$N(\mu,\sigma^2)$分布中抽取的大小为$n$的随机样本$(X_1, X_2, …, X_n)$，我们将分别讨论$\mu$已知和$\mu$未知两种情况下总体方差$\sigma^2$的估计。
- 当$\mu$已知时，经典的无偏估计量为：$\hat{\sigma} {\mu}^2 = \frac{1}{n}\sum {i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2$。
- 同时，我们也可以考虑$\sigma^2$的其他估计量：$S_c^2 = c\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \mu)^2$，其中$c > 0$。
- 当$\mu$未知时，我们寻找形式为$S_c^2 = c\sum_{i = 1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$的估计量，其中$c >