18、多元高斯分布理论：从小样本到大数据的误差率计算与分析

多元高斯分布理论：从小样本到大数据的误差率计算与分析

在数据分析和模式识别领域，多元高斯分布理论是一个重要的基础。它涉及到对各种误差率的计算和分析，包括真实误差率、再代入误差率和留一法误差率等。本文将深入探讨这些误差率的计算方法，以及如何利用不同的样本方法（小样本和大样本）来进行准确的估计。

1. 多元高斯分布基础

在多元高斯分布的情境中，有一系列零均值、单位方差的高斯随机变量，如 (i = 0, 1, Z_{11}, \ldots, Z_{1d}, Z_{21}, \ldots, Z_{2d}) 。同时， (F_i) 是服从具有 (n_1 - i) 和 (n_0 - i) 自由度的 F 分布，其中 (i = 1, \ldots, d - 1) 。

对于二次判别分析（QDA）判别式 (WQ(S_{n_0,n_1}, X)) 在 (Y = 0) 条件下的分布，它是样本大小 (n_0) 和 (n_1) 以及分布参数 (\Lambda) 和 (\xi) 的函数。通过非奇异仿射变换 (X’ = U^T\Sigma_1^{-\frac{1}{2}}(X - \mu_1)) ，可以将高斯总体进行变换，得到 (\Pi’_0 \sim N_d(\xi, \Lambda)) 和 (\Pi’_1 \sim N_d(0, I_d)) 。这里，参数 (\xi) 表示均值之间的距离，而 (\Lambda) 则指定了协方差矩阵的差异程度。

需要注意的是，与线性同方差情况下的马氏距离 (\delta) 不同，参数 (\xi) 和 (\Lambda) 在总体切换时不是不变的。切换后的参数 (\bar{\xi}) 和 (\bar{\Lambda}) 与原始参数的关系为 (\bar{\Lambd