17、多元高斯分布理论中的判别式统计表示与小样本方法

多元高斯分布理论中的判别式统计表示与小样本方法

在多元高斯分布的统计分析中，判别式的应用十分关键，尤其是在处理小样本数据时。本文将详细介绍几种常见判别式的统计表示及其在小样本情况下的应用。

1. 基本判别式公式

在多元高斯分布理论中，有几个重要的判别式公式。
- 总体特定样本均值 ：
- $\bar{X} 0 = \frac{1}{n_0} \sum {i=1}^{n} X_i I_{Y_i=0}$ 和 $\bar{X} 1 = \frac{1}{n_1} \sum {i=1}^{n} X_i I_{Y_i=1}$ 分别是特定总体的样本均值，其中 $n_0$ 和 $n_1$ 在混合抽样时为随机变量。
- $\bar{X} = \frac{1}{2}(\bar{X} 0 + \bar{X}_1)$。
- 合并样本协方差矩阵 ：
- $\hat{\Sigma} = \frac{1}{n - 2} \sum {i=1}^{n} [(X_i - \bar{X} 0)(X_i - \bar{X}_0)^T I {Y_i=0} + (X_i - \bar{X} 1)(X_i - \bar{X}_1)^T I {Y_1=1}]$。
- Anderson 判别式 ：上述判别式也被称为 Anderson 判别式。若 $\Sigma$ 已知，可用其替代 $\hat{\Sigma}$ 得到 John 判别式：$W_L(S, x) = (x -