14、误差率的分布理论与高斯分布研究

误差率的分布理论与高斯分布研究

1. 误差率的高阶矩

1.1 真实误差

真实误差率的高阶矩（包括混合矩）在计算误差估计量的方差和均方根等方面有重要作用。对于真实误差 𝜀，其二阶矩可通过如下公式计算：
[E[\varepsilon^2] = E[(c_0\varepsilon_0 + c_1\varepsilon_1)^2] = c_0^2E[(\varepsilon_0)^2] + 2c_0c_1E[\varepsilon_0\varepsilon_1] + c_1^2E[(\varepsilon_1)^2]]
其中：
- (E[(\varepsilon_0)^2] = P(W(X^{(1)}) \leq 0, W(X^{(2)}) \leq 0 \mid Y^{(1)} = Y^{(2)} = 0))
- (E[\varepsilon_0\varepsilon_1] = P(W(X^{(1)}) \leq 0, W(X^{(2)}) > 0 \mid Y^{(1)} = 0, Y^{(2)} = 1))
- (E[(\varepsilon_1)^2] = P(W(X^{(1)}) > 0, W(X^{(2)}) > 0 \mid Y^{(1)} = Y^{(2)} = 1))

一般地，真实误差率 𝜀 的 k 阶矩由以下定理给出：
定理 5.1 ：真实误差率的 k 阶矩为
[E[\varepsilon^k] = \sum_{l = 0}^{k} \binom{k}{l} c_0^{k - l} c_1^l E[(\varepsilon_0)^{k