55、远离平衡态的热力学与数学在生物学中的应用

远离平衡态的热力学与数学在生物学中的应用

1. 幂律测量

幂律在许多科学领域中都有重要应用，但准确测量幂律指数β并非易事。乍一看，通过绘制log p(x)与log x的关系图，其斜率即为β。然而，实际情况中，该图并非在整个x范围内呈线性，通常仅在x大于某一特定值的区域才是线性的。这意味着幂律指数通常从分布的尾部进行评估。

目前，尚无客观标准来确定选取尾部的哪一部分能最可靠地估计β。此外，β的估计还依赖于时间序列的长度、采集时间序列的数字化速率以及阈值的选择。同时，还需确保幂律并非由测量设备本身导致。

虽然对数 - 对数图的线性被视为幂律的标志，但线性并不足以证明幂律的存在。一个常用的经验法则是，幂律至少要跨越三个数量级。但由于数据集长度有限，往往难以满足这一标准，因此其他类型的统计分布也可能符合观测结果。

为了更准确地判断幂律的存在，目前有两种主要方法：
- 最大似然估计与柯尔莫哥洛夫 - 斯米尔诺夫统计结合 ：这种方法能有效检验幂律指数估计的显著性，相关计算机程序可免费下载。
- 多重测试法 ：不依赖单一测试，而是应用一系列测试来检测幂律的存在。每一个确认幂律存在的测试都增加了显著幂律存在的可能性。

当有合理的模型不仅能预测幂律的存在，还能预测幂律指数的正确大小时，关于幂律的争论就会减少。不同现象（如地震和癫痫发作）具有相同幂律的发现，促使我们根据已知的产生机制来评估这些现象。幂律关系的研究是许多科学领域的活跃课题。

2. 癫痫发作与地震的幂律相似性

研究发现，药物难治性癫痫患者的癫痫发作能量遵循 -5/3 的幂律，这与1984 - 2000年加利福尼亚南部记录的81,977次地震的地震矩所遵循的幂律相同。这种幂律行为的相似性表明，这两个动态系统都可被视为由耦合的非线性弛豫振荡器群体组成。

这一发现有两个重要意义：
- 预测癫痫发作 ：用于预测地震发生的统计方法可能适用于预测癫痫发作。能够预测下一次癫痫发作的时间将极大地造福癫痫患者。例如，癫痫患者在驾车时若能提前知道即将发作，就有足够时间将车停到路边。但需注意，幂律的存在本身并不意味着可预测性，只有当幂律在特定长度尺度上出现偏离时，可预测性才会增加。这些偏离（被称为“龙之王”）的常见原因包括临界现象。检测“龙之王”有望为预测癫痫发作提供实用方法。
- 验证自组织临界性假设 ：癫痫发作和地震的幂律行为可能由相同的普遍机制产生。给大鼠注射3 - 巯基丙酸（3 - MPA）诱导癫痫发作的实验表明，当3 - MPA剂量较低时，癫痫发作能量的对数 - 对数图呈线性；当剂量增加时，图中出现非线性区域。这表明通过研究癫痫动物模型的动力学，有可能实验性地评估自组织临界性假设。

3. 热力学相关概念总结

问题	答案
什么是状态函数，如何用数学定义？	状态函数是一种热力学函数，从状态A到状态B再回到状态A的净变化为零，与路径无关。数学上定义为其循环积分（由(17.5)给出）为零，也可从精确（普法夫）微分方程的条件（由(17.4)给出）推断循环积分为零。
为什么功和热不是状态函数？	一般来说，系统从状态A到状态B以及反之过程中传递的热量或所做的功取决于路径，因此功和热不是状态函数。可以用地球上两点间的旅行来类比，两点间的海拔净变化是固定的，但旅行的距离取决于路线。
什么是状态方程？	状态方程是描述平衡状态的强度和广度变量之间的关系。例如，理想气体定律（由(17.1)给出）将V与n、P和T的函数相关联。状态方程不能直接从热力学定律推导得出，必须通过实验观察经验性地确定。
热力学平衡与动态系统中的稳定定点有何相似之处？	它们都是与时间无关的状态，并且可以通过适当定义的变量的最小值来表征。
动态和热力学对平衡状态的描述在多大程度上一致？	即使在最简单的情况下，只有当化学物质浓度与其平衡值的偏差非常非常小时，这两种描述才一致。这一结论部分基于质量作用定律的有效性。
平衡状态与稳态是否相同？	平衡状态与稳态不同。例如，在喷泉实验中，稳态对应于水龙头打开时杯子中的固定水位，而平衡状态是关闭水龙头后杯子中无水的状态。平衡热力学不适用于有质量流过系统的情况，平衡状态的熵产生为零，而稳态的熵产生速率为正。
什么是细致平衡原理，为什么它很重要？	细致平衡原理出现在可分解为基本过程的动态系统描述中。它要求在平衡状态下，每个基本过程必须与其逆过程精确平衡。该原理并非源于热力学考虑，但对于确保动态和热力学对系统行为的描述等价是必要的。
哪些生物系统在远离平衡的状态下运行？	所有生物体内发生的过程都是远离平衡状态运行的生物系统的例子。
目前认为最能描述非平衡态的热力学变量是什么？	系统的熵产生是描述非平衡态的变量。当系统接近平衡时，熵产生与力及其相关通量的线性乘积有关。理论上，远离平衡的情况以力和通量之间的非线性关系为特征。
随机游走的主方程方法如何在非平衡态描述中出现？	该方法用于描述接近平衡状态运行的系统。它假设可以定义一个由热力学广度和强度变量的局部值表征的微观状态。系统演化过程中特定微观状态的存在和现有微观状态之间的转换被建模为随机游走。
什么是自组织临界性，哪些实验测量表明可能存在这种现象？	自组织临界性是非线性动态系统的一种特性，其吸引子为临界状态。它出现在在非平衡条件下缓慢驱动的非线性动态系统中，其特征是存在指数为 -3/2 的幂律，因此具有尺度不变性。
什么是幂律，尺度不变性是什么意思？	幂律的形式为f(x) = axβ，因此f(x)与f的对数 - 对数图是斜率为β的线性图。尺度不变性意味着如果将自变量x按常数因子c缩放，则函数本身仅按比例缩放。例如，无论用何种单位测量半径，圆的面积与r²的关系始终不变。
如何区分幂律分布与其他类型的统计分布？	幂律指数通常从分布的尾部测量，但难以确定以这种方式测量的幂律是否具有统计学意义。有多种统计方法可用于解决这个问题。最有力的证据是存在一个能预测幂律发生和幂律指数测量值的现象模型。

4. 相关练习

以下是一些相关的练习题，用于巩固所学知识：
1. 使用(17.2)计算范德瓦尔斯气体在恒压条件下的膨胀功，并与理想气体的情况进行比较。
2. 利用精确微分和吉布斯自由能G的定义，证明：
[
\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right) T = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P
]
若有dA = -SdT - PdV（A为亥姆霍兹自由能），证明：
[
\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_T = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_V
]
这些方程被称为麦克斯韦方程。若能从适当的状态方程确定((\frac{\partial V}{\partial T})_P)和((\frac{\partial P}{\partial T})_V)，则可利用麦克斯韦关系计算熵的变化。
3. 计算沿给定参数方程曲线的线积分：
- (\int_C (2x - xy)dx + x^2 dy)，其中C由x(t) = 2t²和y(t) = t³ + 3t定义，t从 -1 到 3。
- (\int_C \sqrt{y}dx + (2x - y)dy)，其中C由x(t) = 4t³和y(t) = t定义，t从 0 到 1。
4. 证明给定线积分的值与路径无关，并计算其值：
- (\int {(1,3)}^{(-1,2)} xy^2 dx + x^2y dy)
- (\int_{(-3,1)}^{(3,3)} \log y^2 dx + 2xy^{-1} dy)
5. 证明(17.26)可以重写为(17.27)。
6. 对于小的x，有log(1 + x) ≈ x。求x为多大时，x与log(1 + x)的差值为1%和10%。
7. 推导方程(17.33)和(17.34)。
8. 证明(17.42)是非负的（提示：观察方程(17.42)具有x - ylog(x/y)的形式）。
9. 证明(17.42)在平衡状态下（即满足细致平衡条件时）为零。
10. 开 - 关间歇性可以由具有参数噪声的二次映射产生，即：
[
x_{t + 1} = r(\xi_t)(1 - x_t)
]
其中r(\xi_t) = kU_t，U_t是区间[0, 1]上均匀分布的离散变量，k > 1。使用XPPAUT程序演示 -3/2 幂律的步骤如下：
- 编写XPPAUT程序来积分(17.46)。
- 将程序加载到XPPAUT后，依次选择NUMERICS -> POINCARE MAP -> PERIOD，在菜单中进行以下选择：
- 变量选择X
- 截面选择0.01（这是选择层流相阈值的方法，0.01是一个不错的起点）
- 方向选择 +1（表示定义向上穿过阈值）
- Stop on Section选择N
- 积分程序，完成后点击‘Data’，会看到两列数据，第一列是连续向上穿过阈值的时间差，这是层流相的定义。
- 选择STOCHASTICS -> HISTOGRAM，在窗口顶部的白色栏中输入以下信息：
- 箱数：输入猜测值，例如100
- 最低箱值
- 最高箱值
- 变量：X
- 条件：按‘ENTER’
- 点击‘DATA’，会看到两列数据，第一列是时间和箱的位置，第二列是X，表示长度等于该箱大小的层流相的数量。可以使用Viewaxes查看直方图。
- 绘制log X与log T的关系图。若数据中有零值，可使用Data Menu命令REPLACE将数字转换为log10数字。
- 使用Viewaxes得到对数 - 对数图，尽量估计线性部分的斜率。
- 证明为了获得 -3/2 幂律，k ≥ 2.71828···；证明开 - 关间歇性的开始要求k ≥ 2.71828···。

通过这些练习，可以加深对幂律测量、热力学概念以及相关数学方法的理解和应用能力。

远离平衡态的热力学与数学在生物学中的应用

5. 数学在生物学研究中的现状与挑战

在过去，生物学与数学的关系犹如加拿大作家休·麦克伦南笔下的“两个孤独体”，相互独立。然而，近几十年来，数学和计算机建模在生物学研究中的作用显著提升，在基因工程、人类基因组计划、新治疗策略开发等项目中发挥着不可或缺的作用。

但目前，生物学家、数学家和计算机科学家的本科教育水平远不能满足社会需求。尽管有少数科学家在生物学和数学领域都有深厚造诣，为数学和理论生物学的研究生教育奠定了基础，但这种全面掌握多学科知识的教育模式对大多数有志于生物学研究的学生来说难度过大。

未来，数学在生物学中的成功应用将更多地依赖跨学科研究团队。团队成员需具备互补的技能，团队的成功更取决于成员间的有效协作，以及时解决实际问题。然而，当前本科生物学教育中，批判性思维、问题解决、项目管理和有效沟通等团队协作所需的重要技能却被严重忽视。

因此，生物学专业可以让学生专注于特定领域，并通过参与跨学科团队项目积累实践经验，而不是培养“超级科学家”。

6. 改善生物学教育中数学应用的措施

• 融入建模模块 ：生物数学课程的合格学生通常不足生物专业注册学生的5%。为解决这一问题，可将计算机/数学建模模块融入现有的基于实验室的生物学课程中。模块应与课程主题相关，例如在生理学或运动学课程中加入滤波器和频谱分析模块，在涉及气候变化的生物学课程中加入反馈控制模块。

• 利用网络资源 ：互联网对本科教育的影响日益增大，学生可随时通过网络收听名校专家的讲座。但目前对学生有效利用这些资源的引导不足，将数学融入生物学实验室可能只是教育变革的开端，未来教育模式可能会发生根本性改变。

7. 总结与展望

数学在生物学研究中的应用越来越广泛，但目前的教育体系还无法满足实际需求。通过跨学科团队合作和改进教育方法，有望提高生物学研究中数学应用的水平。以下是一个简单的流程图展示未来生物学研究中数学应用的发展路径：

graph LR
    A[当前生物学与数学教育现状] --> B[加强跨学科团队合作]
    B --> C[改进生物学教育方法]
    C --> D[提高生物学研究中数学应用水平]

同时，为了更清晰地展示不同学科技能在生物学研究中的作用，我们可以列出以下表格：
|学科技能|在生物学研究中的作用|
|----|----|
|数学|提供建模、数据分析和理论推导的工具|
|计算机科学|实现模型模拟、数据处理和算法开发|
|生物学|提供研究对象和实验设计的基础|
|实验室技能|进行实验操作和数据采集|

未来，随着跨学科研究的深入和教育改革的推进，数学将在生物学研究中发挥更大的作用，为解决生物学领域的复杂问题提供更有效的方法。我们期待看到更多基于数学和生物学结合的创新研究成果，推动生物学的发展。

总之，数学与生物学的融合是未来生物学研究的重要趋势，我们需要不断探索和改进教育与研究方法，以适应这一发展需求。通过跨学科团队的协作和教育模式的创新，我们有信心在生物学研究中取得更多的突破。