51、稳定随机游走及其相关模型解析

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分类专栏：数学：实验室的隐形工具文章标签：随机游走特征函数厄伦费斯特瓮模型

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稳定随机游走及其相关模型解析

1. 随机游走的特征函数

随机游走的特征函数在其分析中具有重要作用。特征函数的定义为 $\phi(f) = \langle e^{-j2\pi fx} \rangle$。若根据每一步的独立性对 $x$ 进行分解，由于独立随机变量的平均值可分解为乘积，假设所有步骤具有相同的概率密度函数（pdf），则有：
$\phi(f) = \langle e^{-j2\pi fx} \rangle = \langle e^{-j2\pi fx_1} \rangle \langle e^{-j2\pi fx_2} \rangle \cdots \langle e^{-j2\pi fx_t} \rangle = \phi_t^e(f)$

以一维零均值高斯概率密度函数为例，其特征函数为 $\phi(f) = \exp\left(-\frac{(2\pi\sigma f)^2}{2}\right)$，其中 $\sigma^2$ 为方差。若随机游走者每一步的步长都从方差为 $\sigma_i^2$ 的高斯概率密度函数中获取，那么根据上述特征函数的性质可得：
$\phi(f) = e^{-(2\sigma_1\pi f)^2/2} e^{-(2\sigma_2\pi f)^2/2} \cdots e^{-(2\sigma_t\pi f)^2/2} = e^{-(2\sigma_T \pi f)^2/2}$
其中 $\sigma_T^2 = \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \cdots + \sigma_t^2$。这表明 $p(x,t)$ 也是高斯概率密度函数，且随机游走的方差变为每一步方差之和，这是步骤独立性的结果。

2. 稳定随机游走的局限性与厄伦费斯特瓮模型

简单随机游走模型在处理与反馈相关问题时存在局限性，即缺乏稳定性概念，也就是动力系统对扰动影响的抵抗能力。厄伦费斯特夫妇提出的瓮模型展示了如何将二次势纳入离散随机游走。

2.1 厄伦费斯特瓮模型介绍

“2 - 瓮模型”最初是为了深入理解热力学第二定律而提出的。假设有两个瓮 A 和 B，共有 N 个球，将球编号为 1 到 N 以便跟踪。规则是每一步随机选取一个球并将其移动到另一个瓮中。初始时，瓮 A 中有 N 个球，瓮 B 中没有球。第一步，球必然从 A 移动到 B；第二步，球从 A 移动到 B 的概率为 $(N - 1)/N$，从 B 移动到 A 的概率为 $1/N$；第三步，相应概率分别为 $(N - 2)/N$ 和 $2/N$；经过三步后，瓮 B 中有 3 个球的概率为 $(N - 1)(N - 2)/N^2$，以此类推。

当 N 很大时，最初球几乎都从 A 移动到 B，但随着瓮 A 中的球数接近 $N/2$，球向两个方向移动的概率大致相同。若将瓮 A 中球数超过 $N/2$ 的部分与离散随机游走中游走者的位移相对应，就会发现瓮模型的动力学与随机游走相似。实际上，可以证明厄伦费斯特模型得到的福克 - 普朗克方程与朗之万方程得到的方程完全相同。

2.2 二次势对随机游走的影响

可以通过假设向原点的转移概率随离原点的距离线性增加（当然有一定限度），将二次势的影响纳入随机游走。具体来说，转移概率在距离原点达到 $\pm a$ 之前随距离线性增加，之后保持恒定（因为转移概率在 0 到 1 之间）。此时，随机游走的概率分布函数满足以下方程：
$P(r,0) = \delta_{r,0}$
$P(r,n) = g(r - 1)P(r - 1,n - 1) + f(r + 1)P(r + 1,n - 1)$
其中 $a$ 和 $d$ 为正参数，$\beta = 2d/a$，且
$f(x) = \begin{cases}
\frac{1 + 2d}{2}, & x > a \
\frac{1 + \beta x}{2}, & -a \leq x \leq a \
\frac{1 - 2d}{2}, & x < -a
\end{cases}$
$g(x) = \begin{cases}
\frac{1 - 2d}{2}, & x > a \
\frac{1 - \beta x}{2}, & -a \leq x \leq a \
\frac{1 + 2d}{2}, & x < -a
\end{cases}$
$f(x)$ 和 $g(x)$ 分别是在位置 $x$ 处向负方向和正方向移动一步的转移概率，且 $f(x) + g(x) = 1$。若对于所有 $x$ 都有 $f(-x) = g(x)$，则随机游走关于原点对称。

根据随机游走向原点移动的趋势，可将其分类：
- 当 $f(x) > g(x)$（$x > 0$）时，随机游走为吸引型。
- 当 $f(x) < g(x)$（$x > 0$）时，随机游走为排斥型。
- 当 $f(x) = g(x) = \frac{1}{2}$ 时，上述一般随机游走退化为简单随机游走。这里主要考虑吸引型情况。

3. 厄伦费斯特随机游走的自相关函数

假设 $a$ 足够大，可忽略游走者超出 $(-a, a)$ 范围的概率。此时，概率分布函数 $P(r,n)$ 近似满足方程：
$P(r,n) = \frac{1}{2}(1 - \beta(r - 1))P(r - 1,n - 1) + \frac{1}{2}(1 + \beta(r + 1))P(r + 1,n - 1)$

3.1 对称性与均值

由对称性可知 $P(r,n) = P(-r,n)$，且 $\langle X(t) \rangle = 0$。

3.2 方差计算

将上述方程两边乘以 $r^2$ 并对所有 $r$ 求和，可得到方差：
$\sigma^2(n) = \langle X^2(n) \rangle = \frac{1}{2\beta}(1 - (1 - 2\beta)^n)$
在稳态下，方差为 $\sigma_s^2 = \langle X^2 \rangle_s = \frac{1}{2\beta}$。

3.3 自相关函数推导

将方程改写为联合概率形式：
$P(r,n;m,n - \Delta) = \frac{1}{2}(1 - \beta(r - 1))P(r - 1,n - 1;m,n - \Delta) + \frac{1}{2}(1 + \beta(r + 1))P(r + 1,n - 1;m,n - \Delta)$
定义稳态下的联合概率 $P_s(r;m,\Delta) \equiv \lim_{n \to \infty} P(r,n;m,n - \Delta)$，则有：
$P_s(r;m,\Delta) = \frac{1}{2}(1 - \beta(r - 1))P_s(r - 1;m,\Delta - 1) + \frac{1}{2}(1 + \beta(r + 1))P_s(r + 1;m,\Delta - 1)$
将上式两边乘以 $rm$ 并对所有 $r$ 和 $m$ 求和，可得自相关函数：
$C(\Delta) = (1 - \beta)C(\Delta - 1)$
进一步改写为 $C(\Delta) = (1 - \beta)^\Delta C(0) = \frac{1}{2\beta}(1 - \beta)^\Delta$
当 $\beta \ll 1$ 时，可近似为 $C(\Delta) \approx \frac{1}{2\beta} e^{-\beta|\Delta|}$。
根据维纳 - 辛钦定理，可得功率谱：
$W(f) \approx \frac{2}{\beta^2} \left(\frac{1}{1 + (2\pi f/\beta)^2}\right)$

这些自相关函数和功率谱的表达式与随机过程得到的表达式形式相同，其性质也与相关图形所示定性一致。

4. 延迟随机游走

4.1 延迟随机游走的定义

延迟随机游走是指转移概率取决于游走者过去某个时间 $\tau$ 的位置的随机游走。即游走者在位置 $x$ 的概率取决于考虑了 $\tau$ 步之前位置的联合概率。将之前的方程推广到包含时间延迟的情况，可得：
$P(r,n + 1) = \sum_m g(m)P(r - 1,n;m,n - \tau) + \sum_m f(m)P(r + 1,n;m,n - \tau)$
其中 $X(n)$ 为时间 $n$ 时游走者的位置，$P(r,n)$ 为游走者在 $X(n) = r$ 的联合概率，$P(r,n;m,n - \tau)$ 为 $X(n) = r$ 且 $X(n - \tau) = m$ 的联合概率。$f(x)$ 和 $g(x)$ 分别是向负方向和正方向移动一步的转移概率，与二次势随机游走中使用的相同。

4.2 延迟随机游走的重要性质

对称性与平均位置 ：由于关于原点对称，游走者的平均位置为 0。对于吸引型延迟随机游走，在稳态下（$n \to \infty$），有 $P(r,n + 1;r + 1,n) = P(r + 1,n + 1;r,n)$。证明过程如下：
- 根据稳态定义，有 $P(r,n + 1;r + 1,n) + P(r,n + 1;r - 1,n) = P(r + 1,n + 1;r,n) + P(r - 1,n + 1;r,n)$。
- 当 $r = 0$ 时，由对称性可知 $P(0,n + 1;1,n) = P(1,n + 1;0,n)$。
- 通过归纳法可得到上述关系。
生成函数 ：将稳态下的方程乘以 $\cos(\alpha r)$ 并对 $r$ 和 $m$ 求和，可得到生成函数：
$\langle \cos(\alpha X(n)) \rangle = \cos(\alpha) \langle \cos(\alpha X(n)) \rangle + \sin(\alpha) \langle \sin(\alpha X(n)) {f(X(n - \tau)) - g(X(n - \tau))} \rangle$
不变关系 ：存在关于延迟的不变关系 $\frac{1}{2} = \langle X(n) {f(X(n - \tau)) - g(X(n - \tau))} \rangle$。当选择 $f$ 和 $g$ 如前文所述时，该不变关系变为 $\langle X(n + \tau)X(n) \rangle = C(\tau) = \frac{1}{2\beta}$。这是二次势延迟随机游走模型的一个简单特征，也是获得自相关函数解析表达式的关键。

4.3 稳态下的自相关函数

对于稳态且 $0 \leq \Delta \leq \tau$，根据定义可得：
$P_s(r,n + \Delta;m,n) = \sum_{\ell} g(\ell)P_s(r - 1,n + \Delta;m,n + 1;\ell,n + \Delta - \tau) + \sum_{\ell} f(\ell)P_s(r + 1,n + \Delta;m,n + 1;\ell,n + \Delta - \tau)$
将上式两边乘以 $rm$ 并求和，可得到自相关函数的方程：
$C(\Delta) = C(\Delta - 1) - \beta C(\tau + 1 - \Delta)$（$0 \leq \Delta \leq \tau$）
当 $\tau < \Delta$ 时，有 $C(\Delta) = C(\Delta - 1) - \beta C(\Delta - 1 - \tau)$。
使用 $\langle X(n + \tau)X(n) \rangle = C(\tau) = \frac{1}{2\beta}$ 可显式求解上述方程。对于 $0 \leq \Delta \leq \tau$，可得：
$C(\Delta) = C(0) \frac{(z_+^\Delta - z_+^{\Delta - 1}) - (z_-^\Delta - z_-^{\Delta - 1})}{z_+ - z_-} - \frac{1}{2} \frac{(z_+^\Delta - z_-^\Delta)}{z_+ - z_-}$
其中 $C(0) = \frac{1}{2\beta} \frac{(z_+ - z_-) + \beta(z_+^\tau - z_-^\tau)}{(z_+^\tau - z_+^{\tau - 1}) - (z_-^\tau - z_-^{\tau - 1})}$，$z_{\pm} = (1 - \frac{\beta^2}{2}) \pm \frac{\beta}{2} \sqrt{\beta^2 - 4}$。
当 $\tau < \Delta$ 时，$C(\Delta)$ 可写成多重求和形式，但表达式较为复杂。例如，当 $\tau < \Delta \leq 2\tau$ 时，$C(\Delta) = \frac{1}{2\beta} - \beta \sum_{i = 1}^{\Delta - \tau} C(i)$，其中 $C(i)$ 由上述 $0 \leq \Delta \leq \tau$ 时的表达式给出。

随着 $\tau$ 的增加，自相关函数会出现振荡行为，其峰值包络的衰减在数值上为指数形式，小 $u$ 时包络的衰减率约为 $1/(2C(0))$。

4.4 延迟随机游走与延迟朗之万方程的关系

延迟随机游走在 $0 \leq \Delta \leq \tau$ 时得到的自相关函数表达式与延迟朗之万方程的表达式等价。当 $\beta$ 较小时，有：
$\frac{(z_+^\Delta - z_+^{\Delta - 1}) - (z_-^\Delta - z_-^{\Delta - 1})}{z_+ - z_-} \sim \cos(\beta\Delta)$
$\frac{\beta(z_+^\Delta - z_-^\Delta)}{z_+ - z_-} \sim \sin(\beta\Delta)$
因此，$C(\Delta) \sim C(0) \cos(\beta\Delta) - \frac{1}{2}\Delta \sin(\beta\Delta)$
其中 $C(0) \sim \frac{1 + \sin(\beta\tau)}{2\beta \cos(\beta\tau)}$

以下是延迟随机游走的主要性质总结表格：
|性质|描述|
| ---- | ---- |
|对称性与平均位置|平均位置为 0，吸引型稳态下有特定概率关系|
|生成函数|$\langle \cos(\alpha X(n)) \rangle = \cos(\alpha) \langle \cos(\alpha X(n)) \rangle + \sin(\alpha) \langle \sin(\alpha X(n)) {f(X(n - \tau)) - g(X(n - \tau))} \rangle$|
|不变关系|$\langle X(n + \tau)X(n) \rangle = C(\tau) = \frac{1}{2\beta}$|
|自相关函数（$0 \leq \Delta \leq \tau$）|$C(\Delta) = C(0) \frac{(z_+^\Delta - z_+^{\Delta - 1}) - (z_-^\Delta - z_-^{\Delta - 1})}{z_+ - z_-} - \frac{1}{2} \frac{(z_+^\Delta - z_-^\Delta)}{z_+ - z_-}$|
|自相关函数（$\tau < \Delta$）|形式复杂，如 $\tau < \Delta \leq 2\tau$ 时，$C(\Delta) = \frac{1}{2\beta} - \beta \sum_{i = 1}^{\Delta - \tau} C(i)$|

下面是延迟随机游走的简单流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[确定初始状态];
    B --> C[根据过去位置确定转移概率];
    C --> D[进行随机游走一步];
    D --> E{是否达到稳态};
    E -- 否 --> C;
    E -- 是 --> F[计算自相关函数等性质];
    F --> G[结束];

5. 姿势摇摆的延迟随机游走模型

安静站立且闭眼时，压力中心（COP）的波动可以用延迟随机游走模型来描述。假设游走者在时间 $n$ 向右（正方向）移动一步的概率 $p_+(n)$ 为：
$p_+(n) = \begin{cases}
p, & X(n - \tau) > 0 \
0.5, & X(n - \tau) = 0 \
1 - p, & X(n - \tau) < 0
\end{cases}$
其中 $0 < p < 1$。当 $p < 0.5$ 时，原点具有吸引力。由于关于原点对称，$\langle X(n) \rangle = 0$。该简单模型能很好地重现某些人类受试者压力中心波动的一些特征。

5.1 模型的有趣性质

均方根位置的极限值 ：对于所有 $\tau \geq 0$ 的选择，$\sqrt{\langle X^2(n) \rangle}$ 会趋近于一个极限值 $\Psi$。
趋近极限值的方式 ：$\sqrt{\langle X^2(n) \rangle}$ 趋近 $\Psi$ 的性质取决于 $\tau$ 的值。当 $\tau$ 较小时，以非振荡方式趋近；当 $\tau$ 较大时，会出现阻尼振荡，其周期约为延迟时间的两倍。通过数值模拟可得近似公式：
$\Psi(\tau) \sim (0.59 - 1.18p)\tau + \frac{1}{\sqrt{2(1 - 2p)}}$
该近似公式用于将延迟随机游走模型拟合到实验测量的姿势摇摆波动中。

5.2 与广义延迟随机游走的关系

在广义延迟随机游走方程中，上述概率对应于选择：
$f(x) = \frac{1}{2}[1 + \eta\theta(x)]$
$g(x) = \frac{1}{2}[1 - \eta\theta(x)]$
其中 $\eta = 1 - 2p$，$\theta(x)$ 是阶跃函数：
$\theta(x) = \begin{cases}
1, & x > 0 \
0, & x = 0 \
-1, & x < 0
\end{cases}$
这意味着延迟随机游走发生在 V 形势（实际上是二次势的线性近似）上。

5.3 稳态概率分布

$\tau = 0$ 时 ：通过求解长时间极限下的方程组：
$P(0,n + 1) = 2(1 - p)P(1,n)$
$P(1,n + 1) = \frac{1}{2}P(0,n) + (1 - p)P(2,n)$
$P(r,n + 1) = pP(r - 1,n) + (1 - p)P(r + 1,n) \ (2 \leq r)$
使用试函数 $P_s(r) = Z^r$（其中 $P_s(r) = \lim_{n \to \infty} P(r,n)$），可得：
$P_s(0) = 2C_0p$
$P_s(r) = C_0 \left(\frac{p}{1 - p}\right)^r \ (1 \leq r)$
其中 $C_0 = \frac{1 - 2p}{4p(1 - p)}$。由此可轻松计算出 $\tau = 0$ 时的方差：
$\sigma^2(0) = \frac{1}{2(1 - 2p)^2}$
$\tau > 0$ 时 ：稳态概率分布需要求解长时间极限下的一组方程，但求解过程繁琐且结果不直观。仅得到了 $\tau = 1$ 和 $\tau = 2$ 时的结果：
- $\tau = 1$ 时，$\langle X^2 \rangle = \frac{1}{2(1 - 2p)^2} \left(\frac{7 - 24p + 32p^2 - 16p^3}{3 - 4p}\right)$
- $\tau = 2$ 时，$\langle X^2 \rangle = \frac{1}{2(1 - 2p)^2} \left(\frac{25 - 94p + 96p^2 + 64p^3 - 160p^4 + 64p^5}{5 + 2p - 24p^2 + 16p^3}\right)$

6. 瞬态自相关函数

之前假设压力中心的波动是平稳随机动力系统的实现，但这一假设并不明确。延迟随机游走模型有助于深入了解瞬态状态下的自相关函数 $C_t(\Delta)$。

6.1 瞬态自相关函数的方程

通过类似之前的方法，可得到瞬态状态下自相关函数的一组耦合动力方程：
$C_t(0,n + 1) = C_t(0,n) + 1 - 2\beta C_t(\tau,n - \tau)$
$C_t(\Delta,n + 1) = C_t(\Delta - 1,n + 1) - \beta C_t(\tau - (\Delta - 1),n + \Delta - \tau) \ (1 \leq \Delta \leq \tau)$
$C_t(\Delta,n + 1) = C_t(\Delta - 1,n + 1) - \beta C_t((\Delta - 1) - \tau,n + 1) \ (\Delta > \tau)$

6.2 初始条件

当随机游走者从原点开始时，在 $n \in (1,\tau)$ 区间内是简单对称随机游走，这对应于自相关函数的初始条件：
$C_t(0,n) = n \ (0 \leq \Delta \leq \tau)$
$C_t(u,0) = 0$ 对于所有 $n$

6.3 方程求解与性质

可以使用初始条件迭代生成上述方程的解。从相关图形中可以看出，随着 $\tau$ 的增加，会出现振荡行为。这表明该模型在稳态和瞬态状态下都会随着延迟的增加而出现振荡行为。

此外，从上述方程可以推断出连续时间延迟朗之万方程的瞬态自相关函数 $c_t(\Delta)$ 的一组方程：
$\frac{\partial}{\partial t} c_t(0,t) = -2k c_t(\tau,t - \tau) + 1$
$\frac{\partial}{\partial \Delta} c_t(\Delta,t) = -k c_t(\tau - \Delta,t + \Delta - \tau) \ (0 < \Delta \leq \tau)$
$\frac{\partial}{\partial \Delta} c_t(\Delta,t) = -k c_t(\Delta - \tau,t) \ (\tau < \Delta)$
但对这些含延迟的耦合偏微分方程的研究尚未开展。

以下是姿势摇摆延迟随机游走模型的性质总结表格：
|性质|$\tau = 0$ 时|$\tau > 0$ 时|
| ---- | ---- | ---- |
|稳态概率分布|$P_s(0) = 2C_0p$，$P_s(r) = C_0 \left(\frac{p}{1 - p}\right)^r \ (1 \leq r)$|求解复杂，仅 $\tau = 1$ 和 $\tau = 2$ 有结果|
|方差|$\sigma^2(0) = \frac{1}{2(1 - 2p)^2}$|不同 $\tau$ 有不同表达式|
|瞬态自相关函数| - |有一组耦合动力方程，初始条件明确|

下面是瞬态自相关函数计算的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[确定初始条件];
    B --> C[根据方程迭代计算 $C_t(\Delta,n + 1)$];
    C --> D{是否达到所需时间步};
    D -- 否 --> C;
    D -- 是 --> E[输出瞬态自相关函数结果];
    E --> F[结束];

7. 延迟福克 - 普朗克方程

为了推导二次势中延迟随机游走的福克 - 普朗克方程，采用了与 M. Kac 类似的方法。

7.1 方程的推导起点

之前定义的 $f$ 和 $g$ 代入延迟随机游走方程可得：
$P(r,n + 1) = \sum_m \frac{1}{2}(1 - \beta m)P(r - 1,n;m,n - \tau_d) + \sum_m \frac{1}{2}(1 + \beta m)P(r + 1,n;m,n - \tau_d)$

7.2 变量替换与方程改写

假设随机游走在时间间隔 $\Delta t$ 内移动步长为 $\Delta x$，且 $\Delta x$ 和 $\Delta t$ 相对于感兴趣的时空尺度非常小。令 $x = r\Delta x$，$y = m\Delta x$，$t = n\Delta t$，$\tau = \tau_d\Delta t$，则上述方程可改写为：
$\frac{P(x,t + \Delta t) - P(x,t)}{\Delta t} = \frac{1}{2} \left(\frac{P(x - \Delta x,t) + P(x + \Delta x,t) - 2P(x,t)}{(\Delta x)^2}\right) \left(\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}\right) + \frac{1}{2} \sum_y \frac{\Delta x}{y} \frac{y}{\Delta x}(P(x,t;y,t - \tau) - P(x - \Delta x,t;y,t - \tau)) \frac{\beta}{\Delta t} + \frac{1}{2} \sum_y \frac{\Delta x}{y} \frac{y}{\Delta x}(P(x + \Delta x,t;y,t - \tau) - P(x,t;y,t - \tau)) \frac{\beta}{\Delta t}$

7.3 取极限得到延迟福克 - 普朗克方程

在极限条件 $\Delta x \to 0$，$\Delta t \to 0$，$\beta \to 0$，$\frac{(\Delta x)^2}{2\Delta t} \to D$，$\frac{\beta}{\Delta t} \to \gamma$，$n\Delta t \to t$，$\tau_d\Delta t \to \tau$，$n\Delta x \to x$，$m\Delta x \to y$ 下，上述差分方程变为积分 - 偏微分方程：
$\frac{\partial}{\partial t} \int_{-\infty}^{\infty} P(x,t;y,t - \tau) dy = \int_{-\infty}^{\infty} \gamma \frac{\partial}{\partial x}(yP(x,t;y,t - \tau)) dy + D \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\partial^2}{\partial x^2} P(x,t;y,t - \tau) dy$
该方程与延迟朗之万方程得到的福克 - 普朗克方程相同。当 $\tau = 0$ 时，可得到相应的特殊情况。

综上所述，随机游走及其相关模型，如延迟随机游走和厄伦费斯特瓮模型，为研究各种物理和生物现象提供了有力的工具。通过对这些模型的分析，我们可以更好地理解随机系统的稳定性、自相关性以及瞬态行为等重要性质。这些模型在姿势摇摆分析、金融市场波动等领域都有潜在的应用价值。未来的研究可以进一步深入探索这些模型的性质，以及如何将它们应用到更多的实际问题中。