21、数字信号处理：从FFT到功率谱分析

数字信号处理：从FFT到功率谱分析

1. 基础概念：Sinc函数与频域表示

在数学讨论中，函数 $\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}$ 频繁出现，因此被命名为 $Sinc(f)$。用于计算功率谱的时间序列的频域表示形式为：
$X( f) = B( f)Sinc( f)\text{low - pass filter}( f)$

2. 快速傅里叶变换（FFT）的引入

在实验室中，手动计算时间序列的傅里叶变换是不切实际的，因此需要使用计算机数值方法。以 $g(t) = \sin(2\pi f_0t)$ 为例，可使用离散积分近似来估计傅里叶系数 $a_n$ 和 $b_n$。

2.1 梯形法则

梯形法则将函数 $g(t)$ 分解为多个梯形来计算积分。对于在一个周期内采样的 $\sin(2\pi f_0t)$，在 $t_i$（$i = 0, \cdots, 7$）这8个时间点采样，有7个梯形 $A_i$，第 $i$ 个梯形的面积为：
$A_i = \frac{f(t_i) + f(t_{i + 1})}{2}(t_{i + 1} - t_i)$
若 $t_i$ 等间距，即 $t_{i + 1} - t_i = \Delta t$，则总面积为：
$A = \Delta t\left(\frac{g(t_0) + g(t_1)}{2} + \frac{g(t_1) + g(t_2)}{2} + \cdots + \frac{g(t_6) + g(t_7)}{2}\right)$
可简化为：
$\int_{-\infty}^{\infty}g(t)dt = 2\int_{0}