20、傅里叶分析的应用与数字信号处理

傅里叶分析的应用与数字信号处理

1. 傅里叶分析中的不确定性

在分析连续时间信号时，傅里叶分析存在一些不确定性。首先，选择合适的自变量尺度对于最优地观察感兴趣的现象至关重要，就像在互联网地图上使用“放大”和“缩小”功能来精确定位感兴趣的位置一样。数学上，通过将自变量（这里是空间坐标）乘以一个常数来引入尺度，例如将 (g(x)) 转换为 (g(kx))。当 (k > 1) 时，(g(kx)) 相对于 (g(x)) 在水平方向上被压缩；当 (k < 1) 时，(g(kx)) 相对于 (g(x)) 在水平方向上被拉伸。

在时域中改变尺度时，频域中的尺度变化遵循傅里叶尺度定理（也称为拉伸定理）：
[g(kt) \Leftrightarrow \frac{1}{|k|}G(\frac{f}{k})]
当 (k > 1) 时，(G(\frac{f}{k})) 相对于 (G(f)) 在水平方向上被拉伸且在垂直方向上被压缩；当 (k < 1) 时，(G(\frac{f}{k})) 相对于 (G(f)) 在水平方向上被压缩且在垂直方向上被拉伸。这表明时域和频域的变化方向相反。

该尺度定理意味着不存在一个 (k) 值能同时在时域和频域中最优地定位信号，这一结论通常以不确定性原理的形式呈现：
[\Delta t \Delta f \geq \frac{1}{4\pi}]
其中 (\Delta t) 是时间持续时间，(\Delta f) 是频率带宽。

例如，在量子力学中，动量和位置波函数是傅里叶变换对（相差一个普朗克常数因子），海森堡不确定性原理可以看作是物质波特性的结果。另外，对于蝙蝠的回声定位，蝙蝠发出声波来定位附近