18、频域分析：从波特图到傅里叶分析与功率谱

频域分析：从波特图到傅里叶分析与功率谱

1. 波特图与传递函数中的相位分析

在频域分析中，相位的贡献可以用公式表示：
[
\angle C(j\omega) = -\tan^{-1}\frac{2\varepsilon\omega / \omega_n}{1 - \omega^2 / \omega_n^2}
]
其中，反正切函数的自变量是一个希尔型函数。通过分析不同频率范围，我们可以大致描绘出(\angle C(j\omega))的图像：
- 当(\omega / \omega_n \ll 1)时，(\angle C(j\omega) = 0)；
- 当(\omega / \omega_n = 1)时，(\angle C(j\omega) = -90^{\circ})；
- 当(\omega / \omega_n \gg 1)时，(\angle C(j\omega) = -180^{\circ})。

2. 生物波特图的解读

2.1 小龙虾光感受器传递函数

波特图的整体形状与 RC 电路相似，这表明存在滞后现象。拐角频率(\omega_c \approx 0.75\ rad\cdot s^{-1})。滞后的阶数由高于(\omega_c)频率时响应的极限负斜率决定，但由于数据点分散且频率范围小，难以确定斜率。Stark 注意到在(\omega_c)处，增益从滞后的直线近似（图中虚线）下降了约 6 dB，由于 6 dB 是 3 dB 的两倍，他得出存在二阶滞后的结论。此外，多次试验表明相位随频率的初始下降是线性的，斜率约为 1，这暗示存在约 1 s 的时间延迟。综合这些信息，得到传递函数：