12、分叉理论：从数学模型到实验研究

分叉理论：从数学模型到实验研究

1. 叉式分叉概述

叉式分叉分为超临界分叉和亚临界分叉。在超临界分叉和亚临界分叉中，当参数变化时，系统的动力学行为会发生显著改变。以手指 - 弹簧压缩实验为例，该实验利用手指尽可能地压缩细长弹簧，同时避免弹簧滑动或弯曲，借此研究操作动力学。实验基于复杂动力系统倾向于在稳定边界附近自组织的假设，其动力学可近似用亚临界叉式分叉的通用方程描述。

当对细长弹簧施加向下的力时，弹簧会通过叉式分叉发生弯曲。在特定临界负载下，弹簧原本稳定的直构型变得不稳定，开始弯曲或偏离原稳定构型，且不稳定后不会达到新的固定点，这体现了亚临界叉式分叉，其中弹簧的向下压缩量作为控制参数。

2. 手指 - 弹簧压缩实验的数学模型

在实际动力系统中，“爆炸不稳定性”通常会受到高阶项的稳定影响。假设高阶项需保持对称性，手指 - 弹簧压缩分叉的通用方程为：
$\frac{dx}{dt} = μx + x^3 - x^5$

通过求解该方程的临界点及其稳定性，可得到分叉图，此分叉图具有以下有趣特性：
- 双稳性 ：当$μ_s < μ < 0$时存在双稳性。通过求解固定点，令$\frac{dx}{dt} = 0$，即$μx + x^3 - x^5 = 0$，可得五个固定点，其中一个为$x_1^ = 0$，其余四个可由$x^4 - x^2 - μ = 0$确定。令$z = x^2$，则得到二次多项式$z^2 - z - μ = 0$，其解为$z_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4μ}}{2}$，所以五个固定点分别为$x_1^ = 0$