11、动力系统中的分岔现象：固定点的创建与破坏

动力系统中的分岔现象：固定点的创建与破坏

在动力系统的研究中，固定点是一个关键概念，它描述了系统的时间无关状态。根据系统与周围环境相互作用的性质，固定点可以是平衡态或稳态。系统在偏离固定点后的响应可用于评估其稳定性，即抵抗变化的能力，而稳定性又取决于系统参数的值。这启发我们通过改变参数来探索动力系统的动态变化。

1. 分岔与分岔图

当改变参数时，动力系统可能会出现两种变化：一是固定点的稳定性发生改变，在某一参数范围内稳定，而在另一范围内不稳定；二是可能会创建新的固定点或破坏现有的固定点。

分岔是指在数学模型中，当参数改变时，系统动态发生定性变化的现象。例如，一个稳定的固定点可能会变得不稳定，反之亦然。分岔图则总结了随着参数变化，固定点的数量及其稳定性。它为实验者提供了关键的实验方向，例如改变参数会发生什么，在稳定性边界会出现什么情况等。

常见的涉及固定点的分岔类型有鞍结分岔、 transcritical 分岔和叉形分岔。理解这些分岔的性质对实验科学家很重要，原因有二：一是复杂动力系统倾向于在稳定性边界附近组织；二是已知涉及固定点的不同分岔类型数量较少。这意味着在生物系统中，我们经常能观察到接近稳定性边界的系统典型行为，并且实验观察至少在原则上可用于识别潜在分岔的性质。

2. 鞍结分岔

鞍结分岔是创建和破坏固定点的基本机制，对于理解可激发系统中的振荡生成尤为重要。其通用方程为：
[
\frac{dx}{dt} = \mu + x^2
]
其中，$\mu$ 是分岔参数。根据 $\mu$ 的取值不同，有三种情况：
- $\mu > 0$：没有实固定点。
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