7、动态系统中的定点存在性与稳定性分析

动态系统中的定点存在性与稳定性分析

1. 定点存在性相关内容

在动态系统的研究中，定点的存在性是一个关键问题。对于某些化学和生物系统，方程的分析结果与实际观测的振荡现象密切相关。当满足特定条件，如 Van Slyke–Cullen 条件 (k_2 \gg k_{-1}) 时，完整方程组的分析能正确预测观测到的振荡；然而，若使用稳态近似简化同一方程组，却无法预测到振荡解。不过，稳态近似在实验验证有效的情况下是可以接受的，并且它有助于深入理解动态系统，简化实验设计。

在生物动态系统中，定点的存在与否和函数 (f_i) 的连续性有关。对于生物上合理的数学模型，变量 (x_i) 的值需满足 (0 \leq x_i \leq 1)。在二阶动态系统（即有两个变量的系统）中，解的轨迹会被限制在第一象限。当 (f_i) 为连续函数时，数学上已证明第一象限中至少存在一个不受 (f_i) 作用影响的点，即至少存在一个定点（可能有多个）。

但当 (f_i) 为分段连续而非连续函数时，生物动态系统可能不存在定点。这种情况常见于反馈控制中，例如鱼鳍位置控制模型。反馈控制是将动态系统的输出反馈回来影响系统本身的控制机制，以方程 (\frac{dx}{dt} + k_1x = f(x(t - \tau))) 为例，其中 (x = x(t)) 是 (t) 时刻要控制的变量，(x(t - \tau)) 是 (t - \tau) 时刻的变量，(\tau) 是时间延迟，(f) 是反馈。定点 (x^ ) 通过令 (\frac{dx}{dt} = 0) 并假设 (x = x^ = x(t - \tau)) 来确定，误差信号为 (x - x^*)，(f) 的作用是减小（负反馈）或增大（正反馈）误差信号