5、生物数学中的微分方程与系统状态解析

生物数学中的微分方程与系统状态解析

在生物现象的数学建模中，微分方程是重要的工具。下面我们将深入探讨非线性微分方程、解的存在唯一性，以及系统的平衡态和稳态等相关知识。

非线性微分方程

生物现象模型中出现的微分方程大多是非线性的。不过，在变量的某些范围内，非线性微分方程的行为近似于线性微分方程。因此，了解线性动力系统是学习非线性动力系统的良好起点。

以牛顿运动定律 (F = ma = m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}) 描述生物在流体环境中肢体（如鱼鳍）的运动为例。影响运动的力包括由中枢运动程序决定的肌肉激活产生的力 (F_{neural})、肌肉骨骼系统的生物力学特性产生的力 (F_{ms}) 以及运动环境产生的力 (F_{env})。

假设鱼要将其一个鱼鳍的位置稳定在一维的 (x_0) 处，令 (x - x_0) 为偏离该位置的偏差，不妨设 (x_0 = 0)。“稳定”意味着若鱼鳍位置因水流波动等改变，鱼会产生力使鱼鳍回到原位置。此时方程变为 (m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + F_{env} + F_{ms} = -F_{neural})，力的符号约定为抵抗从 (x = 0) 位置的位移。

对于 (F_{ms})，简单近似为 (F_{ms} = k_1x)，这是胡克定律，常用于描述结缔组织（如韧带和肌腱）的弹性变形。

确定 (F_{env}) 需考虑液体环境对鱼鳍运动的影响。当鱼鳍运动缓慢且尺寸较小时，水的阻力与速度成正比，即 (F_{env} \approx k_2\frac{dx}{dt})（低速情况）；当鱼鳍快速运动时，阻力与速度的平方成正比，即 (F_{env} \approx k