7、形态学图像处理基础与膨胀腐蚀操作

形态学图像处理基础与膨胀腐蚀操作

1. 预备知识

1.1 集合论的基本概念

在数字图像处理中，集合论的概念起着重要的作用。首先，设 $Z$ 为实数整数集。生成数字图像的采样过程可以看作是将 $xy$ 平面划分为网格，每个网格中心的坐标是笛卡尔积 $Z^2$ 中的一对元素。在集合论的术语中，如果图像坐标 $(x, y)$ 是 $Z^2$ 中的整数，并且 $f$ 是一个将强度值（即实数集 $R$ 中的一个实数）分配给每个不同坐标对的映射，那么函数 $f(x, y)$ 就被称为数字图像。如果 $R$ 中的元素也是整数（这在实际应用中很常见），那么数字图像就成为一个二维函数，其坐标和振幅（即强度）值都是整数。

设 $A$ 是 $Z^2$ 中的一个集合，其元素是像素坐标 $(x, y)$。我们用符号 $w = (x, y) \in A$ 表示 $w$ 是集合 $A$ 的元素（式 10 - 1）；如果 $w$ 不是集合 $A$ 的元素，则表示为 $w \notin A$（式 10 - 2）。满足特定条件的像素坐标集合 $B$ 可以写成 $B = { w | 条件 }$（式 10 - 3）。例如，所有不属于集合 $A$ 的像素坐标集合，记为 $A^c$，可表示为 $A^c = { w | w \notin A }$（式 10 - 4），这个集合被称为 $A$ 的补集。

两个集合 $A$ 和 $B$ 的并集，记为 $C = A \cup B$（式 10 - 5），是属于 $A$、$B$ 或同时属于两者的所有元素的集合；交集，记为 $C = A \cap B$（式 10 - 6），是同时属于 $A$ 和 $B$ 的所有元素的集合。集合 $A$ 和 $B$ 的差集，记为 $A