29、自适应系统中的LMS算法及变换域技术详解

自适应系统中的LMS算法及变换域技术详解

1. 引言

在信号处理领域，自适应系统扮演着重要的角色，尤其是在处理含有干扰的信号时。例如，在消除曼彻斯特编码数据信号中的60Hz电力线干扰时，我们需要高效的算法来实现干扰的消除。传统的维纳估计虽然理论上可以达到最优，但在实际应用中存在计算复杂度高的问题，因此需要更实用的算法，如Widrow - Hoff最小均方（LMS）算法。

2. 避免直接计算维纳估计的原因

直接计算维纳估计存在一些问题：
- 计算复杂度高 ：生成自相关矩阵$R_{xx}$和互相关向量$r_{dx}$的计算量很大，并且我们可能不清楚需要使用多少数据样本来获得足够的统计信息。
- 矩阵求逆困难 ：计算自相关矩阵$R_{xx}$的逆矩阵$R_{xx}^{-1}$非常耗时，尤其是当滤波器阶数增大时。而且，由于涉及许多计算步骤，结果的精度可能不足，特别是在定点算术实现中。

3. Widrow - Hoff最小均方（LMS）算法

LMS算法是一种实时逼近维纳估计的实用方法，它不需要显式测量相关函数，也不涉及矩阵求逆。其核心思想是基于最速下降法，通过迭代更新滤波器系数向量$f[n + 1]$。

3.1 算法原理

根据最速下降法，下一个滤波器系数向量$f[n + 1]$等于当前滤波器系数向量$f[n]$加上与负梯度成比例的变化：
$f[n + 1] = f[n] - \frac{\mu}{2} \nabla[n]$
其中，$\mu$是学习因子或步长，控制算法的稳定性和收敛速度，