12、有限脉冲响应（FIR）数字滤波器详解

有限脉冲响应（FIR）数字滤波器详解

1. 数字滤波器概述

数字滤波器常用于在时域或频域中修改或改变信号的属性。最常见的数字滤波器是线性时不变（LTI）滤波器。LTI 滤波器通过线性卷积过程与输入信号相互作用，用公式表示为 (y = f * x)，其中 (f) 是滤波器的脉冲响应，(x) 是输入信号，(y) 是卷积输出。线性卷积过程的正式定义为：
[y[n] = x[n] * f[n] = \sum_{k} x[k]f[n - k] = \sum_{k} f[k]x[n - k]]

LTI 数字滤波器通常分为有限脉冲响应（FIR）和无限脉冲响应（IIR）两类。顾名思义，FIR 滤波器由有限数量的样本值组成，将上述卷积和简化为每个输出样本时刻的有限和；而 IIR 滤波器则需要进行无限求和。

数字滤波器作为主要的 DSP 操作越来越受欢迎，正迅速取代传统的模拟滤波器。模拟滤波器使用 RLC 组件和运算放大器实现，通过普通微分方程或拉普拉斯变换进行数学建模，在时域或 s（拉普拉斯）域进行分析。如今，模拟原型仅用于 IIR 设计，而 FIR 滤波器通常使用直接的计算机规格和算法进行设计。

2. FIR 滤波器理论

2.1 FIR 滤波器基本原理

具有恒定系数的 FIR 滤波器是一种 LTI 数字滤波器。长度为 (L) 或阶数为 (N = L - 1) 的 FIR 滤波器对输入时间序列 (x[n]) 的输出由卷积和的有限形式给出：
[y[n] = x[n] * f[n] = \sum_{k = 0}^{L - 1} f[k]x[n - k]]
其中 (f[0] \neq 0) 到 (f[L -