10、特殊函数计算：使用 MAC 调用的方法与实践

特殊函数计算：使用 MAC 调用的方法与实践

1. 特殊函数计算背景与方法概述

在数字电路设计中，实现特殊函数的计算是一个重要的任务。传统的 CORDIC 算法能以适中的成本实现多种函数，但对于一些高精度函数，它需要大量迭代，导致流水线实现时延迟较大。随着新的 FPGA 系列（如 Spartan 或 Cyclone）中快速嵌入式阵列乘法器的出现，通过多项式逼近实现特殊函数成为了可行的选择。常见的多项式逼近方法有泰勒级数逼近和切比雪夫逼近。泰勒级数逼近对于某些函数（如 exp(x)）收敛较快，但对于其他特殊函数（如 arctan(x)），需要很多乘积项才能达到足够的精度，这时切比雪夫逼近就能发挥优势，它可以缩短所需的迭代次数或乘积项数量。

1.1 切比雪夫逼近原理

切比雪夫逼近基于切比雪夫多项式，其定义为 (T_k(x) = \cos (k \times \arccos(x)))，范围是 (-1 \leq x \leq 1)。虽然看起来像三角函数，但通过代数恒等式和操作可以将其写成真正的多项式。前几个多项式如下：
- (T_0(x) = 1)
- (T_1(x) = x)
- (T_2(x) = 2x^2 - 1)
- (T_3(x) = 4x^3 - 3x)
- (T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1)
- (T_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x)
- (T_6(x) = 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1)

切比雪夫多项式遵循迭代规则 (T_k(x) = 2xT_{k - 1}(x) - T_{k - 2}(x))（(\forall k \