39、量子计算中的整体量子计算与冷离子和原子计算理论

量子计算中的整体量子计算与冷离子和原子计算理论

1. 整体量子计算

整体量子计算涉及几何相位和非阿贝尔推广。几何相位本身构成了一个整体群的表示，哈密顿量参数空间中的任何回路都与一个几何相位因子相关联。由于相位可交换，它们形成了阿贝尔表示，即 (e^{i\chi\gamma_1} e^{i\chi\gamma_2} = e^{i\chi\gamma_2} e^{i\chi\gamma_1})。这意味着它们的非阿贝尔推广不是由普通数字表示，而是由矩阵表示，这在绝热演化系统中，当本征空间简并时自然出现。

参数相关的哈密顿量可以写成 (H(\lambda_t) = \sum_{k} \epsilon_k(\lambda_t)\Pi_k(\lambda_t)) 的形式，其中 (\Pi_k(\lambda_t)) 是瞬时本征空间的投影算符。随着时间变化，参数、本征值和本征空间都会改变，本征空间通过酉变换 (O(\lambda_t)) 平滑连接，即 (\Pi_k(\lambda_t) = O(\lambda_t)\Pi_{0k}O^{\dagger}(\lambda_t))，其中 (\Pi_{0k}) 是初始时刻 (t_0) 的本征空间。

在绝热近似下，每个本征空间内的演化由以下方程生成：
[
i\frac{dU_k(t)}{dt} = [\epsilon(\lambda_t) - A_k(\lambda_t)] U_k(t)
]
[
A_k(\lambda_t) = i\Pi_{0k}\frac{dO(\lambda_t)}{dt}O^{\dagger}(\lambda_t)\Pi_{0k}
]

对于参数的封闭回