详细讲解：Python中二进制以及数值的特殊性，在位运算中需要注意的点

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原创最新推荐文章于 2026-08-31 15:56:39 发布 1.1k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

二进制补码实战：用Python验证-128的存储与运算（附位操作技巧）本文通过Python实战演示了二进制补码的存储与运算机制，重点解析了-128的特殊表示方式及其数学原理。文章提供了位操作技巧、补码转换公式和溢出检测方法，并应用于图像处理、网络协议解析等实际场景，帮助开发者深入理解计算机底层数据表示。阅读详情

我对python大整数的实现，点击查看

在之前的文章，我实现过Python的大整数，可以说，在python中是没有数值类型这一说的，你可以为一个变量赋值为上千亿，也不会出错。没有了如java中的int， short， byte等对位数的限制。已知int由四个字节表示，那么就有4X8 = 32位可以表示的范围就是 -2^31 到 2^31 -1。但是在Python中

# 参考大整数的实现，Python中的十进制是没有限制的。
>>> a = 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
>>> a
10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

Python中的二进制

那么问题来了，既然十进制没有限制，那么二进制有没有限制呢？答案是 没有
首先要知道，在计算机中，数值都是以二进制形式保存的，所以任何编程时输入的10进制，都是转化为 2进制运算。整数不变（整数补码等于源码），负数则是利用其补码。

# 打印a的二进制形式，可以看到根本没有位数限制
>>> bin(a)
'0b1010010010111000110010101011000110100001010101100011111101010010010101110111000000000001101110001001000100011000010110010011100010001010011110100100100011101001101010111000011000111111011001111101010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000'

理解这些之后，就可以往下推论了，既然没有位数限制，那也就是不存在溢出的情况！python的数值类型不存在溢出的情况。像是java语言，当计算两个int数的和大于 int32位所能表示的时候，就会被截断！只要32位，那么就会返回错误的结果。

在java中：	
// 2^31 - 1 
int a = 2147483647;  
int b = 21474;
System.out.println(a + b);

得到结果将是
-2147462175

接着看，为什么int进制的表示是 -2^31 到 2^31 -1?

举个简单的例子，以4位二进制为例子：
4 位的：最高一位表示符号位
表示正数：
0000    0
0001    1
0010    2
0011    3
0100    4
0101    5
0110    6
0111    7
范围是 0 --> 2^3-1    也就是0 --> 7

负数的表示，原码：      但是在计算机中存储的都是补码形式：补码中用(-128)代替了(-0)！
									原码取反 + 1 --> 补码
1000    -0（-8）（第一个1既是符号位也可以表示数值位）  1111 + 1 --> 1000
1001    -1										1110 + 1 --> 1111
1010    -2										1101 + 1 --> 1110
1011    -3										1100 + 1 --> 1101
1100    -4										1011 + 1 --> 1100
1101    -5										1010 + 1 --> 1011
1110    -6										1001 + 1 --> 1010
1111    -7										1000 + 1 --> 1001
												反码
所以负数的表示是： -1 --> -2^3   也就是 -1 --> -8

总体表示范围是 -2^3 -- 2^3 - 1

这就解释了 32位 int 类型表示数的范围了~

之后看一道位运算的算法题

力扣：371号算法题：两整数之和

在这里插入图片描述

这道算法题的本质，就是不希望你使用+号，而是了解计算机当中如何使用位运算去求两个二进制数的加法和。计算机组成原理中是有讲到的。
思路：

举个例子假如说 4 + 5（正负数规律是一样的）
因为4 和 5的值比较小，方便计算，我们表示成 4位二进制即可
4： 0100
5： 0101

1. 在不考虑进位的条件下： 4 + 5：
	0100
	0101
	------
	0001
	
	1 + 1 = 0 ; 1 + 0 = 1; 0 + 0 = 0 恰好符合 异或的原则（同出0，异出1）
结论：异或运算就相当于是 无进位的加法。 

2. 如何计算进位：
先看看进位是多少， 我们相加得到进位放到下面
	0100
	0101
	------
	0100   # 这个数字表示该位计算后得到的进位
	
	1 + 1 进位是 1；  1 + 0 和 0 + 0 进位是 0，恰好符合 按位&的原则。
	
3. 但是进位是进到下一位的！，所以再执行 左移运算 <<
	 进位： 0100  左移
	 0100  << 1   变为   1000
	 此时左移后的进位 再 和  异或的无进位结果相加，就是 + 法运算的结果了
	 但是！ 事情没这么简单，这个进位 和  异或的无进位结果相加 可能仍然产生进位，所以要不断循环这个过程，当进位为 0 时，    异或运算的无进位结果 就是正确的结果！。  就像 十进制中 3 + 4 = 7 一样，不需要考虑进位，结果是正确的，因为没有进位。

进位数值 加上 无进位加法计算的数值，就是最终结果（ 所以要保证最终的计算，不再产生进位，那么无进位加法的结果就是正确的！）

这就是整个进位的计算过程，下面上Python代码展示：
- 代码十分简洁，a ， b 表示加数，被加数， carry表示进位，当carry为0时停止（b是被加数，也是进位，因为进位 != 0，还要加起来）

def getSum(self, a: int, b: int) -> int: 
        """
        :type a: int
        :type b: int
        :rtype: int
        """
        while b != 0:
            # 计算进位
            carry = (a & b) << 1 
            # 计算两数无进位和
            a = (a ^ b)
            b = carry
        return a

分析上述过程就会发现一个致命错误！

假设输入测试用例， 1， -1，调用函数getSum(1, -1)
# 因为 数字较小，我们还是用 4位二进制进行模拟
1： 0001
-1： 1111

（1）
计算进位是否为0： (-1 & 1) << 1 = 2
	0001  &
	1111
	-------------
	0001  << 1  得：0010  结果10进制为： 2

计算无进位和： (-1 ^ 1) << 1 = -2
	0001 ^
	1111
	-------------
	1110   十进制为-2（和）

（2） 结果余数不为0，继续：
计算进位是否为0： (-2 & 2) << 1 = 4
	1110  &
	0010
	-------------
	0010  << 1  得：0100  结果10进制为： 4

计算无进位和： -2 ^ 2 = -2
	1110 ^
	0010
	-------------
	1100   十进制为-4（和）
	
（3）余数不为0继续
计算进位是否为0： (-4 & 4) << 1 = -8
	1100  &
	0100
	-------------
	0100  << 1  得：1000  结果10进制为： -8  （Python计算就开始出错了（按照4位二进制来说），结果会为8）

计算无进位和： -4 ^ 4 = -8
	1100 ^
	0100
	-------------
	1000   十进制为-8（和）

（关键一步到了！）
（4）余数不为0继续
计算进位是否为0： (-8 & -8) << 1 = 16( 正确的四位2进制，结果应该是 0！)
	1000  &
	1000
	-------------
	1000  << 1  注意！！！！ 得：10000  结果10进制为： 16 （这里出现问题），本来应该去0的，但是确得到了 16，变为了 5位2进制表示。这就是Python特殊的地方！ 无限制表示二进制数。  我们还假设得到的二进制数是0

(此时进位已经变为 0， 得到的最后异或结果（无进位加法），就是最终正确结果！)
计算无进位和： -8 ^ -8 = 0
	1000 ^
	1000
	-------------
	0000   十进制为0（和）
	
结论： 程序返回，得出最终正确结果为 0！！！

但是上面Python中的问题， << 左移 会无限增大一个二进制数，没有位数的限制（即使我们上面假设了4位2进制），
所以数字运算永不为0，永远不会得到结果！！ 这就是Python在处理一些 位运算时会产生的问题， 因为没有明确的 2进制表示位数限制。

解决：就需要模拟带有位数的限制。
理解位数的意义：假设32位 2进制（int）。那么只要是数值运算结果数值不超过32位，都是正确的。如果是16位的，那么16位以内的数值运算结果，也都是正确的，因为在计算机中存储就是以16位存储，没有多余的位数。
通过掩码，模拟32位整数（只存储32位2进制），举个例子：

>>> bin(123123123123123)
'0b11011111111101011010110000001000111001110110011'
我们只要32位，就要设立一个掩码： mask = 0xFFFFFFFF （16进制表示，32位1）
& mask：
110111111111010 11010110000001000111001110110011
000000000000000 11111111111111111111111111111111  &
-------------------------------------------------
000000000000000 11010110000001000111001110110011
运算结果恰好是取后32位， 当一个二进制位数超过限制时，我们只要后32位。

要注意Python中两个数进行位运算，本身位数是不固定的，但是 哪个长，就以哪个为准，举例子：
>>> 1 ^ -1
-2   
# 结果为 -2 ，可能是
01
11
-----
10 --> 就是 -2
>>> (1 ^ -1) & 0xFFFFFFFF
4294967294

运算
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110    （-2）-2的表示根据 0xFFFFFFFF的长度变长表示
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111		（0xFFFFFFFF）
-----------------------------------------
1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1110  （这个应该表示的是 -2的补码形式，但是python返回的，直接把他当做整数返回4294967294）

>>> bin(4294967294)
'0b11111111111111111111111111111110'
一样，验证了推论！

要想再得到原来的2，就要将这个反码数，转换为原码让Python输出
>>> ~(4294967294 ^ 0xFFFFFFFF)     
-2

~(a ^ mask) 将a表示的补码转换为原码输出，正数不需要改变。
>>> 2 & 0xFFFFFFFF
2

所以如下解：

def getSum(self, a: int, b: int) -> int:

    # 定义32位最大整数 : [0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111]
    MAX = 0x7FFFFFFF
    # 定义获取后32位的掩码
    mask = 0xFFFFFFFF
    while b != 0:
        carry = ((a & b) << 1) & mask 	# 得到32位长，正确进位
        a = (a ^ b) & mask   # 异或结果也是 32位长
        b = carry

    # 如果 a < MAX 说明是个整数， a > MAX, 那上面的第一位一定是1（因为和掩码进行运算，都变为32位长的表示），就代表负数， ~(a ^ mask)： 将a的补码转成负数
    return a if a <= MAX else ~(a ^ mask)