算法详解——图的深度优先遍历和广度优先遍历

一、图结构

  图结构指的是如下图所示的由节点和边组成的数据。

二、深度优先遍历

2.1 图的遍历

  图的遍历任务指的是从图中某个节点开始，遍历得到图中所有节点的过程。

2.2 深度优先遍历过程

  假设我们从1号节点开始进行深度优先遍历。遍历的步骤如下：首先，我们选择1号顶点作为起始点。从1号顶点开始，我们尝试沿着边访问尚未到达过的顶点。我们发现2号顶点是未到达过的，所以我们移动到2号顶点。现在，以2号顶点为起点，我们继续尝试访问其他未到达过的顶点。这样，我们又到达了4号顶点。接着，以4号顶点为起点，我们尝试访问其他未到达过的顶点。然而，此时我们无法再通过4号顶点的边访问其他未到达过的顶点，所以我们需要回到2号顶点。回到2号顶点后，我们发现沿着2号顶点的边也无法再访问其他未到达过的顶点。因此，我们需要继续回到1号顶点。现在，我们继续检查1号顶点的边，看看是否还有其他未到达过的顶点。这时我们到达了3号顶点，然后以3号顶点为起点继续访问其他未到达过的顶点，最后到达了5号顶点。此时，所有顶点都已经被访问过，遍历结束。遍历的顺序如下图所示：

2.3 深度优先遍历核心思想

  深度优先遍历的核心思想在于：首先选择一个未被访问过的顶点作为起始点，然后沿着当前顶点的边前进到未被访问过的顶点。当当前顶点没有未访问过的邻居顶点时，则回溯到上一个顶点，继续试探访问其他顶点，直到所有的顶点都被访问过为止。显然，深度优先遍历是沿着图的某一条分支遍历直到末端，然后回溯，再沿着另一条分支进行同样的遍历，直到所有的顶点都被访问过为止。

2.4 深度优先遍历实现

  如何将这一过程用代码实现呢？在讨论代码实现之前，我们需要先解决如何存储一个图的问题。最常用的方法是使用一个二维数组 $e$ 来表示，具体如下所示：

  上图中的二维数组中，第$i$行第$j$列表示从顶点$i$到顶点$j$是否存在一条边。其中，$1$表示存在边，$\infty$表示不存在边。我们将自己到自己的路径（即$i$等于$j$）设为$0$。这种图的存储方式被称为邻接矩阵存储法。

  注意观察的同学会发现，这个二维数组沿主对角线对称。这是因为上述图是无向图。无向图指的是图的边没有方向性，例如边1-5表示，1号顶点可以到达5号顶点，同时5号顶点也可以到达1号顶点。

  接下来，我们将解决如何使用深度优先搜索来实现图的遍历。

// C 代码

#include <stdio.h>

int book[101], sum, n, e[101][101];

void dfs(int cur) // cur 是当前所在的顶点编号
{
   
   
    int i;
    printf("%d ", cur);
    sum++; // 每访问一个顶点，sum就加1
    if (sum == n)
        return; // 所有的顶点都已经访问过则直接退出
    for (i = 1; i <= n; i++) // 从1号顶点到n号顶点依次尝试，看哪些顶点与当前顶点cur有边相连
    {
   
   
        // 判断当前顶点cur到顶点i是否有边，并判断顶点i是否已访问过
        if (e[cur][i] == 1 && book[i] == 0)
        {
   
   
            book[i] = 1; // 标记顶点i已经访问过
            dfs(i);      // 从顶点i再出发继续遍历
        }
    }
    return;
}

int main()