55、图像表示与描述：矩不变量和主成分分析

图像表示与描述：矩不变量和主成分分析

在图像处理领域，准确地表示和描述图像是许多任务的基础，例如图像识别、分类和匹配等。本文将介绍两种重要的图像描述方法：矩不变量和主成分分析，并通过具体的示例展示它们的应用。

1. 矩不变量

矩不变量是一种对图像进行特征提取的方法，它对图像的平移、缩放、镜像和旋转具有不变性。下面我们将详细介绍矩不变量的相关概念和计算方法。

1.1 二维矩和中心矩的定义

对于大小为 $M \times N$ 的数字图像 $f(x,y)$，其 $(p + q)$ 阶二维矩定义为：
[m_{p,q} = \sum_{x=0}^{M - 1} \sum_{y=0}^{N - 1} x^p y^q f(x,y)]
其中 $p = 0, 1, 2, \cdots$ 和 $q = 0, 1, 2, \cdots$ 为整数。

相应的 $(p + q)$ 阶中心矩定义为：
[ \mu_{p,q} = \sum_{x=0}^{M - 1} \sum_{y=0}^{N - 1} (x - \bar{x})^p (y - \bar{y})^q f(x,y)]
其中 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 是图像的重心坐标。

1.2 归一化中心矩

归一化中心矩的定义为：
[ \eta_{p,q} = \frac{\mu_{p,q}}{\mu_{0,0}^{\gamma}}]
其中 $\gamma = \frac{p + q}{2} + 1$，对于 $p + q = 2, 3, \cdots$。

1.3 七个二维矩不变