41、形态学图像处理：基础与膨胀操作详解

形态学图像处理：基础与膨胀操作详解

1. 形态学概述

形态学通常是生物学的一个分支，主要研究动植物的形态和结构。而在数学形态学里，它被用作提取图像组件的工具，这些组件有助于表示和描述区域形状，像边界、骨架和凸包等。同时，我们也关注用于预处理或后处理的形态学技术，例如形态学滤波、细化和修剪等。

形态学图像处理是从输入输出均为图像的图像处理方法，向尝试描述图像内容的图像分析方法过渡的重要环节。它是从图像中提取“意义”的数学工具集的基石。

2. 预备知识

2.1 集合论的一些基本概念

设 $Z$ 为实数整数集。生成数字图像的采样过程可看作是将 $xy$ 平面划分为网格，每个网格中心的坐标是笛卡尔积 $Z^2$ 中的一对元素。从集合论的术语来讲，如果 $(x, y)$ 是 $Z^2$ 中的整数，且 $f$ 是一个将强度值（即实数集 $R$ 中的一个实数）分配给每个不同坐标对 $(x, y)$ 的映射，那么函数 $f(x, y)$ 就被称为数字图像。若 $R$ 中的元素也是整数（通常情况就是如此），数字图像就变成了一个二维函数，其坐标和幅度（即强度）值均为整数。

设 $A$ 是 $Z^2$ 中的一个集合，其元素为像素坐标 $(x, y)$。若 $w = (x, y)$ 是 $A$ 的一个元素，我们记作 $w \in A$；若 $w$ 不是 $A$ 的元素，则记作 $w \notin A$。满足特定条件的像素坐标集合 $B$ 可写作 $B = {w | 条件}$。例如，不属于集合 $A$ 的所有像素坐标集合，记为 $A^C$，它被称为 $A$ 的补集。

两个集合 $A$ 和 $B$ 的并集，记为 $C =