23、投影图像重建技术详解

投影图像重建技术详解

1. 傅里叶切片定理与滤波反投影

1.1 一维傅里叶变换

对于函数 (g(p, \theta)) 关于 (p) 的一维傅里叶变换为：
[G(\omega, \theta) = \int_{-\infty}^{\infty} g(p, \theta) e^{-j2\pi\omega p} dp]
其中，(\omega) 是频率变量，这里的表达式是针对固定的 (\theta) 值。

1.2 傅里叶切片定理

在计算机断层扫描中，傅里叶切片定理指出：投影的傅里叶变换（即上述公式中的 (G(\omega, \theta))）是获取该投影区域的二维变换（即 (f(x, y))）的一个切片。可以表示为：
[G(\omega, \theta) = [F(u, v)]_{u=\omega\cos\theta; v=\omega\sin\theta} = F(\omega\cos\theta, \omega\sin\theta)]
其中，(F(u, v)) 是 (f(x, y)) 的二维傅里叶变换。

1.3 频域中获取 (f(x, y)) 的表达式

已知 (F(u, v))，可以通过逆傅里叶变换获取 (f(x, y))：
[f(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} F(u, v) e^{j2\pi(ux + vy)} du dv]
若令 (u = \omega \cos \theta) 和 (v = \omega \sin \theta)，则 (du dv = \omega d\