15、机器学习中的数学基础与反向传播算法-优快云博客

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机器学习中的数学基础与反向传播算法

1. 数学基础的重要性

机器学习离不开数学，尤其是线性代数和微积分。线性代数为处理向量、矩阵和张量等数据数组提供了工具，而微积分则用于计算函数的导数，这在优化算法中至关重要。

1.1 进一步阅读建议

若想深入学习线性代数，推荐 Sheldon Axler 的《Linear Algebra Done Right》（2015 年，Springer 出版）。
对于微积分，包括向量微积分，James Stewart 的《Calculus: Early Transcendentals》（2015 年，Cengage Learning 出版）是一本全面且实用的指南。
若想深入理解微积分的数学理论，Walter Rudin 的经典著作《Principles of Mathematical Analysis》（1976 年，McGraw Hill 出版）是不二之选。

2. 线性代数基础

2.1 向量：一维数据

向量是一维的数字数组，数组的大小即为向量的维度。在 Python 中，可以使用 NumPy 数组来表示向量。以下是一些基本操作：

import numpy as np

# 创建向量
x = np.array([1, 2])
print(x)  # 输出: array([1, 2])
print(x.shape)  # 输出: (2,)

y = np.array([3, 3.1, 3.2, 3.3])
print(y)  # 输出: array([3., 3.1, 3.2, 3.3])
print(y.shape)  # 输出: (4,)

# 访问向量元素
x = np.array([5, 6, 7, 8])
print(x[0])  # 输出: 5
print(x[1])  # 输出: 6

# 向量加法
x = np.array([1, 2, 3, 4])
y = np.array([5, 6, 7, 8])
print(x + y)  # 输出: array([ 6,  8, 10, 12])

# 元素-wise 乘法（Hadamard 积）
x = np.array([1, 2, 3, 4])
y = np.array([5, 6, 7, 8])
print(x * y)  # 输出: array([ 5, 12, 21, 32])

# 标量乘法
x = np.array([1, 2, 3, 4])
print(0.5 * x)  # 输出: array([0.5, 1., 1.5, 2.])

# 点积
x = np.array([1, 2, 3, 4])
y = np.array([4, 5, 6, 7])
print(np.dot(x, y))  # 输出: 60
print(x @ y)  # 输出: 60

2.2 矩阵：二维数据

矩阵是二维的数字数组，同样可以使用 NumPy 数组来表示。以下是矩阵的基本操作：

# 创建矩阵
x = np.array([
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6]
])
print(x)
# 输出:
# array([[1, 2, 3],
#        [4, 5, 6]])
print(x.shape)  # 输出: (2, 3)

# 访问矩阵元素
print(x[0][1])  # 输出: 2
print(x[0, 1])  # 输出: 2
print(x[1][0])  # 输出: 4
print(x[1, 0])  # 输出: 4

# 提取矩阵的行和列
y = x[0]
print(y)  # 输出: array([1, 2, 3])
print(y.shape)  # 输出: (3,)

z = x[:, 1]
print(z)  # 输出: array([2, 5])

# 矩阵加法
x = np.array([
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6]
])
y = np.array([
    [3, 4, 5],
    [6, 7, 8]
])
print(x + y)
# 输出:
# array([[ 4,  6,  8],
#        [10, 12, 14]])

# 元素-wise 乘法
print(x * y)
# 输出:
# array([[ 3,  8, 15],
#        [24, 35, 48]])

# 标量乘法
print(0.5 * x)
# 输出:
# array([[0.5, 1., 1.5],
#        [2., 2.5, 3.]])

2.3 三阶张量

在一些场景中，如表示棋盘或图像，可以使用三阶张量。以围棋棋盘为例，可以用多个矩阵堆叠来表示，每个矩阵代表一种棋子类型。同样，图像可以用三个通道（红、绿、蓝）的矩阵来表示。以下是创建和操作三阶张量的示例：

# 创建三阶张量
x = np.array([
    [[1, 2, 3],
     [2, 3, 4]],
    [[3, 4, 5],
     [4, 5, 6]]
])
print(x.shape)  # 输出: (2, 2, 3)
print(x[0])
# 输出:
# array([[1, 2, 3],
#        [2, 3, 4]])
print(x[1])
# 输出:
# array([[3, 4, 5],
#        [4, 5, 6]])

三阶张量也支持元素-wise 加法、乘法和标量乘法。在处理张量时，需要注意索引方案，常见的有 channels_first 和 channels_last 两种。

2.4 四阶张量

为了提高效率，可以将多个三阶张量打包成四阶张量。矩阵和向量是张量的特殊情况，矩阵是二阶张量，向量是一阶张量，而零阶张量就是普通的数字。

3. 微积分基础：导数与求最大值

3.1 导数的概念

在微积分中，函数的变化率称为导数。以下是一些实际生活中的导数示例：
| 数量 | 导数 |
| ---- | ---- |
| 行驶的距离 | 行驶的速度 |
| 浴缸中的水量 | 水流出的速度 |
| 客户数量 | 客户增减的数量 |

导数不是一个固定的量，而是一个随时间或空间变化的函数。当函数递增时，导数为正；当函数递减时，导数为负。可以利用导数来寻找函数的局部最大值或最小值，在局部最大值处，导数为零。

3.2 梯度上升和梯度下降

在机器学习中，许多函数以高维向量为输入，输出一个标量。这类函数的导数是一个与输入维度相同的向量，称为梯度。沿着梯度方向最大化函数的过程称为梯度上升，而最小化函数的过程称为梯度下降。

大多数简单的代数函数都有已知的导数，可以在微积分教材中查找。对于复杂的函数，可以使用链式法则来计算其导数。一些库，如 TensorFlow 和 Theano，利用链式法则自动计算复杂函数的导数。在 Keras 中定义复杂函数时，无需手动计算梯度，Keras 会将工作交给 TensorFlow 或 Theano 处理。

4. 反向传播算法

4.1 符号说明

在处理前馈神经网络时，使用以下符号：
- 网络有 $l$ 层，第 $i$ 层的权重记为 $W_i$，偏置项记为 $b_i$。
- 输入数据为 $x$，输出为 $y$。
- 第 $i$ 层的激活输出记为 $y_{i+1}$，即 $y_{i+1} = \sigma(W_i y_i + b_i)$。
- 第 $i$ 层的非激活输出记为 $z_i$，即 $z_i = W_i \cdot y_i + b_i$。

4.2 前馈神经网络的反向传播算法

前馈神经网络的前向传播可以表示为：
$y_{i+1} = \sigma(W_i y_i + b_i) = f \circ y_i$
预测值可以递归地表示为：
$y = f \circ \cdots \circ f(x)$
损失函数可以表示为：
$Loss(y, \hat{y}) = Loss \circ f \circ \cdots \circ f(x)$

通过链式法则计算损失函数的导数，定义第 $i$ 层的 $\delta$ 为：
$\Delta_i = (W_i)^{\top} \cdot (\Delta_{i+1} \odot \sigma’(z_i))$

其中，$^{\top}$ 表示矩阵转置，$\odot$ 表示 Hadamard 积。计算可以分为两部分，一部分是密集层的计算，另一部分是激活函数的计算：
$\Delta_{\sigma} = \Delta_{i+1} \odot \sigma’(z_i)$
$\Delta_i = (W_i)^{\top} \cdot \Delta_{\sigma}$

最后，计算每一层参数 $W_i$ 和 $b_i$ 的梯度，根据这些误差项，可以使用任何优化器或更新规则来更新神经网络的参数。

4.3 顺序神经网络的反向传播

一般来说，顺序神经网络可能包含更复杂的层，如卷积层或其他激活函数。但反向传播的基本思路是相同的。如果 $g$ 表示无激活的前向传播，$Act$ 表示相应的激活函数，将 $\Delta$ 传播到第 $i$ 层需要计算以下转换：
需要计算激活函数在中间输出 $z_i$ 处的导数，以及层函数 $g$ 相对于第 $i$ 层输入的导数。知道所有的 $\Delta$ 后，通常可以快速推导出层中所有参数的梯度。

4.4 一般神经网络的反向传播

在非顺序网络中，一层可能有多个输出、多个输入或两者都有。对于有 $m$ 个输出的层，前向传播可以拆分为 $k$ 个独立的函数，反向传播时，每个函数的导数分别计算，且每个导数对传递到前一层的 $\Delta$ 贡献相同。对于有 $n$ 个输入和一个输出的情况，前向传播由一个函数从 $n$ 个输入分量计算得到一个输出值，反向传播时，从下一层接收一个 $\Delta$，需要计算 $n$ 个输出 $\Delta$ 传递给前 $n$ 层。一般情况下，$n$ 个输入和 $m$ 个输出的情况可以通过结合上述两种情况来处理。

4.5 反向传播的计算挑战

虽然反向传播在理论上只是链式法则在特定机器学习算法中的应用，但在实践中，实现时需要考虑很多因素。例如，为了计算任何层的 $\Delta$ 和梯度更新，需要保留前向传播的输入。如果简单地丢弃前向传播的结果，在反向传播时需要重新计算。因此，需要有效地缓存这些值。另外，重用中间值也很重要，例如在简单的前馈网络中，可以将仿射线性变换和 sigmoid 激活看作一个单元，或者拆分为两层。自动检测哪些操作可以一起执行可以带来很大的速度提升。在更复杂的情况下，如循环神经网络，管理中间状态变得更加重要。

综上所述，线性代数和微积分是机器学习的重要基础，反向传播算法是训练神经网络的核心。理解这些数学概念和算法对于深入学习机器学习至关重要。在实际应用中，需要注意计算效率和内存使用，合理利用现有的库和工具来简化开发过程。

5. 线性代数与微积分在机器学习中的应用示例

5.1 线性代数在数据表示中的应用

线性代数中的向量、矩阵和张量在机器学习的数据表示中起着关键作用。例如，在图像识别任务中，一张彩色图像可以用一个三阶张量表示，其中每个通道分别对应红、绿、蓝三种颜色。以下是一个简单的示例，展示如何使用 NumPy 处理图像数据：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 模拟一个 128x64 的彩色图像
image = np.random.randint(0, 256, size=(3, 128, 64), dtype=np.uint8)

# 显示图像
plt.imshow(np.transpose(image, (1, 2, 0)))
plt.show()

在这个示例中，我们首先创建了一个随机的三阶张量来模拟彩色图像，然后使用 matplotlib 库将其显示出来。需要注意的是， matplotlib 要求图像数据的形状为 (height, width, channels) ，因此我们使用 np.transpose 函数对张量进行了转置。

5.2 微积分在优化算法中的应用

微积分中的梯度下降算法是机器学习中常用的优化算法之一。以简单的线性回归问题为例，我们的目标是找到一组参数 $w$ 和 $b$，使得预测值与真实值之间的误差最小。误差函数通常定义为均方误差（MSE）：
$MSE = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (y_i - (w x_i + b))^2$
我们可以使用梯度下降算法来更新参数 $w$ 和 $b$，以最小化 MSE。以下是一个简单的实现：

import numpy as np

# 生成一些随机数据
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 4, 6, 8, 10])

# 初始化参数
w = 0
b = 0

# 学习率
learning_rate = 0.01

# 迭代次数
epochs = 1000

for epoch in range(epochs):
    # 计算预测值
    y_pred = w * x + b

    # 计算误差
    error = y_pred - y

    # 计算梯度
    dw = (2/len(x)) * np.dot(x, error)
    db = (2/len(x)) * np.sum(error)

    # 更新参数
    w = w - learning_rate * dw
    b = b - learning_rate * db

print(f"Final w: {w}, Final b: {b}")

在这个示例中，我们首先生成了一些随机数据，然后初始化了参数 $w$ 和 $b$。在每次迭代中，我们计算预测值、误差和梯度，然后使用梯度下降算法更新参数。经过多次迭代后，我们得到了最终的参数值。

6. 反向传播算法的流程图与总结

6.1 反向传播算法的流程图

graph TD;
    A[输入数据] --> B[前向传播];
    B --> C[计算损失函数];
    C --> D[反向传播];
    D --> E[计算梯度];
    E --> F[更新参数];
    F --> B;

这个流程图展示了反向传播算法的基本流程：首先进行前向传播，计算预测值和损失函数；然后进行反向传播，计算梯度；最后根据梯度更新参数。这个过程会不断重复，直到达到收敛条件。

6.2 总结

本文介绍了机器学习中重要的数学基础，包括线性代数和微积分，以及用于训练神经网络的反向传播算法。线性代数中的向量、矩阵和张量为数据表示提供了强大的工具，而微积分中的导数和梯度则是优化算法的核心。反向传播算法通过链式法则计算损失函数的梯度，从而实现了神经网络参数的更新。

在实际应用中，我们需要注意计算效率和内存使用，合理利用现有的库和工具来简化开发过程。同时，理解这些数学概念和算法对于深入学习机器学习至关重要，它们为我们提供了理论基础和实践指导。希望本文能够帮助读者更好地理解机器学习中的数学原理和算法。