25、基于代码等价性硬度的密码学应用研究

基于代码等价性硬度的密码学应用研究

1. 引言

代码等价性是编码理论中的一个基础概念，在基于代码的密码学领域有着广泛应用，如McEliece公钥密码系统、Girault身份识别方案和CFS签名方案等。最近的研究对有限域 $F_q$ 上代码等价性的最坏情况和平均情况难度进行了探讨，发现支持分割算法（SSA）在 $q \in {3, 4}$ 时可扩展使用，能在多项式时间内解决绝大多数实例，但对于 $q \geq 5$ 的情况，该问题对几乎所有实例都难以处理。

2. $F_q$ 上线性代码的等价性

• 基本概念 ：设 $F_q$ 是基数为 $q = p^r$ 的有限域（$p$ 为素数，$r$ 为正整数），线性 $[n, k]$ 代码 $C$ 是有限向量空间 $F_q^n$ 的 $k$ 维子空间，其元素称为码字。$F_q^n$ 上的汉明距离定义为：
  $d : F_q^n \times F_q^n \to N : (x, y) \mapsto d(x, y) := | {i \in {1, 2, …, n} | x_i \neq y_i} |$
  $(F_q^n, d)$ 构成汉明空间，记为 $H(n, q)$。码字 $x$ 的汉明重量 $w(x)$ 为其非零坐标的数量，即 $w(x) := d(x, 0)$。
• 等价性定义
  • 置换等价 ：若存在置换 $\sigma \in S_n$ 使得 $C’ = \sigma(C) = { \sigma(x) | x = (x_1, …, x_n) \in