16、求解欠定多元二次方程的扩展算法

求解欠定多元二次方程的扩展算法

1. 引言

多元公钥密码系统（MPKCs）的安全性依赖于在有限域上求解多元二次方程（MQ问题）的难度。当系数随机选取时，有限域上的MQ问题是NP难问题，且目前尚未有能有效解决该问题的量子算法，因此MPKCs是后量子密码学的候选方案之一，像Matsumoto - Imai密码系统、隐藏域方程（HFE）、不平衡油醋（UOV）和彩虹（Rainbow）等都属于MPKCs。

不过，在特定的未知量个数$n$和方程个数$m$的条件下，MQ问题可以被高效求解。例如，Kipnis等人提出的算法能在$n \geq m(m + 1)$且有限域特征为偶数时，以$n$的多项式时间解决MQ问题。同时，Gröbner基算法也可用于解决MQ问题，且在超定（$n \ll m$）的MQ问题中更有效。所以，评估MQ问题的难度对于MPKCs的安全性至关重要。

2. MQ问题及其已知解法

2.1 MQ问题

设$q$为素数的幂，$k$为阶为$q$的有限域。对于整数$n, m \geq 1$，$f_1(x), f_2(x), \cdots, f_m(x)$是$x = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^t$在$k$上的二次多项式：
[
\begin{align }
f_1(x_1, \cdots, x_n) &= \sum_{1\leq i\leq j\leq n} a_{1,i,j}x_ix_j + \sum_{1\leq i\leq n} b_{1,i}x_i + c_1\
f_2(x_1, \cdots, x_n) &= \sum_{1\leq i\leq j\l