13、利用量子搜索更快地解决格中的最短向量问题

利用量子搜索更快地解决格中的最短向量问题

在格密码学中，最短向量问题（Shortest Vector Problem, SVP）是一个核心问题。传统的解决方法在时间和空间复杂度上有一定的局限性，而量子搜索技术的引入为解决这一问题带来了新的可能。本文将介绍几种解决SVP的算法，并分析它们在经典和量子环境下的复杂度。

1. Pujol和Stehlé的可证明饱和算法

Pujol和Stehlé的算法利用了生日悖论，将Micciancio和Voulgaris原始算法时间复杂度指数中的常数降低了近25%。

算法描述 ：

Algorithm 2 The Provable Saturation Algorithm of Pujol and Stehlé
Input: An LLL-reduced basis B of L, μ ≃λ1(L), ξ > 1/2, R > 2ξ, N max1, N2 = 2O(n)
Output: A non-zero lattice vector s of norm less than μ
1: γ ←1 −1/n
2: T ←∅
3: N1 ∈R [0, N max1 −1]
4: for i ←1 to N1 do
5:
    x ∈R Bn(0, ξμ)
6:
    v′ ←x mod P(B)
7:
    while t ←searcht∈T (∥v′ −t∥< γ∥v′∥) do
8:
        v′ ←v′ −t
9:
    v ←v′ −x
10:
    if ∥v∥≥Rμ then
11: