12、利用量子搜索更快地解决格中的最短向量问题

利用量子搜索更快地解决格中的最短向量问题

1. 基础知识

• 格的定义 ：格是 $\mathbb{R}^n$ 的离散子群。给定 $\mathbb{R}^n$ 中的一组 $n$ 个线性无关向量 $B = {b_1, \ldots, b_n}$，由这些向量生成的格定义为 $L = {\sum_{i = 1}^{n} \lambda_i b_i : \lambda_i \in \mathbb{Z}}$，称集合 $B$ 为格 $L$ 的一个基，该基不唯一，对 $B$ 中的向量应用幺模矩阵变换会得到同一格 $L$ 的新基 $B’$。
• 范数与最短向量 ：在格中，通常使用欧几里得或 $\ell_2$ - 范数，记为 $|\cdot|$。对于基 $B$，记 $|B| = \max_i |b_i|$。格中满足 $|s| \leq |v|$（对于任意 $v \in L \setminus {0}$）的非零向量 $s$ 称为格的最短（非零）向量，其长度记为 $\lambda_1(L)$。
• 最短向量问题（SVP） ：给定格的一个基，SVP 是指在该格中找到最短向量。在许多应用中，找到短向量而非最短向量也足够，近似最短向量问题（SVPγ）要求找到长度上限为 $|v| \leq \gamma\lambda_1(L)$ 的非零格向量 $v$。

2. 相关工作

• 近似最短向量问题 ：在基于格的密码分析中至关重要。对于小的 $\gamma$ 值，该问题是 NP - 难的；对于某些指数大的