5、子集和问题的量子算法：表示法与量子行走的结合

子集和问题的量子算法：表示法与量子行走的结合

1. 表示法概述

表示法是一种用于改进子集和问题算法的技术。传统的左右分割算法存在一定局限性，而表示法通过一种不同且模糊的方式对集合进行分割，从而提高算法效率。

在传统的左右分割中，集合 (I) 被划分为 (I_1 \cup I_2)，其中 (I_1 \subseteq {1, \ldots, n/2}) 且 (I_2 \subseteq {n/2 + 1, \ldots, n})。而表示法将 (I) 划分为 (I_1 \cup I_2)，其中 (I_1, I_2 \subseteq {1, 2, \ldots, n}) 且 (#I_1 = #I_2 = n/4)。这样的划分方式大约有 ( \binom{n/2}{n/4} \approx 2^{n/2}) 种。

关键在于，找到这些指数级数量的表示法 ((I_1, I_2)) 中的任意一种，就足以解决子集和问题。

2. 表示法的基本思想

结合模数的概念，选择一个模数 (M \approx 2^{n/2}) 和一个随机目标值 (t \in {0, 1, \ldots, M - 1})。计算以下两个集合：
- (L_1 = {(\Sigma(I_1), I_1) : I_1 \subseteq {1, \ldots, n}, #I_1 = n/4, \Sigma(I_1) \equiv t \pmod{M}})
- (L_2 = {(s - \Sigma(I_2), I_2) : I_2 \subseteq {1, \ldots, n}, #I_2 = n/4, \Sigma(I_2) \equiv s - t \pmod{M