26、进化算法在控制问题与博弈中的应用

进化算法在控制问题与博弈中的应用

1. 半挂车倒车问题

1.1 问题描述

半挂车倒车问题是一个有趣的控制问题。半挂车通过挂钩连接到牵引车，可在其后方转动。控制目标是将半挂车从任意起始位置移动，使挂车后部中点位于指定的装卸台位置附近，且挂车与装卸台垂直。

为描述系统状态，通常使用四个维度：挂车后部中点的 $(x, y)$ 坐标、挂车相对于装卸台的角度 $\theta_t$ 以及牵引车相对于挂车的角度 $\theta_d$。此外，还引入变量 $\theta_c$ 来描述牵引车（驾驶室）与垂直于装卸台的线的夹角。

为简化问题，假设卡车以恒定速度倒车，通过改变 $u(t)$（表示 $t$ 时刻前轮胎相对于牵引车的角度）来实现转向。控制目标是在每个时间步（通常间隔 $\Delta t = 0.02s$）调整 $u(t)$，使 $x$ 在装卸台的 $0.1m$ 范围内，$y$ 在装卸台的 $0.42m$ 范围内，$\theta_t$ 与水平方向的夹角在约 $0.12$ 弧度（$7°$）内。

1.2 系统动力学方程

半挂车的系统动力学涉及以下七个方程：
- $A = r \cos(u(t))$ （12.46）
- $B = A \cos(\theta_c(t) - \theta_t(t))$ （12.47）
- $C = A \sin(\theta_c(t) - \theta_t(t))$ （12.48）
- $x(t + 1) = x(t) - B \cos(\theta_t(t))$ （12.49）
- $y(t + 1) = y(t) - B \sin(\theta_t(