19、进化算法在组合优化与数学分析中的应用

进化算法在组合优化与数学分析中的应用

在优化问题的解决过程中，传统的基于梯度的方法可能会受到一些限制。当每个梯度仅与余弦函数效应产生的局部最优解相关时，进化优化就有了发挥作用的机会。如果问题的地形是不连续和/或不光滑的，基于梯度的方法可能就不适用了，因为可能无法计算梯度，这时像进化算法这样的“生成与测试”方法就可能成功解决问题。

组合优化问题中的进化算法应用

组合优化问题种类繁多，我们以经典的旅行商问题为例，来阐述进化算法在组合优化中的应用。

旅行商问题描述如下：有n个城市，推销员从其中一个城市出发，必须访问其他每个城市一次且仅一次，然后返回出发城市，目标是找到最短的旅行路线。该问题之所以困难，是因为可能的解决方案总数随着城市数量的阶乘函数增加。具体来说，对于n个城市，可能的解决方案总数为(n - 1)!/2 。例如，当n = 10时，有181,440条不同的路径可供选择；当n = 100时，不同路径的数量约为10^150 。相比之下，宇宙大约130亿年的历史中约有10^18秒，所以枚举所有可能性并确定最佳方案是不可行的。

旅行商问题是NP难问题，目前还没有已知的方法能在与城市数量n成多项式函数关系的时间内生成解决方案。虽然有一些启发式方法可用于解决这个经典问题，但我们这里主要关注进化算法的应用。

解决旅行商问题的步骤

1. 创建数据结构表示解决方案 ：可以使用有序的城市列表来表示，例如对于七个城市，一个可能的解决方案是[1; 3; 2; 5; 7; 6; 4] ，表示推销员从城市1出发，访问城市4后返回城市1。也可以用一系列城市之间的链接来表示，如[(1, 3); (3